Meromorf függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Meromorf függvény szócikkből átirányítva)

A meromorf függvény a komplex analízis egy fogalma. Egy komplex függvény meromorf a komplex sík egy D nyílt halmazán, ha itt minden szingularitása izolált pólus. (Az elnevezés az ógörög „meros” (μέρος), magyarul rész, szóból ered, arra utalva, hogy a függvény nem differenciálható a teljes halmazon, csak egy részén.

Minden D-n meromorf f függvény kifejezhető két (D-n) holomorf függvény hányadosaként: (ahol h nem konstans 0), ekkor h gyökei éppen f pólusai lesznek. Mivel h holomorf, ezért ekkor csak izolált pontokban veheti fel a nulla értéket.

Definíció[szerkesztés]

Legyen nemüres nyílt halmaz, az izolált pólusok halmaza.

komplex függvény meromorf (a D halmazon) ha f holomorf a D \ P halmazon.

Riemann-felületeken a definíció hasonló: Legyen nyílt részhalmaz -ben. meromorf az halmazon, ha nyílt, és:

  • holomorf.
  • izolált pontokból áll.
  • minden pontra .

Az halmaz az függvény pólusait tartalmazza. Az halmazon meromorf függvények halmazát jelöli. Ha összefüggő, akkor ez egy test, amiben a holomorf függvények integritási tartományt alkotnak. Ha komplex részhalmaz, akkor visszajutunk a komplex definícióhoz.

Nem kompakt Riemann-felületeken a meromorf függvények éppen a holomorfak hányadosai. Kompakt Riemann-felületeken csak konstans holomorf függvények vannak, nem konstans meromorf függvények lehetnek. Az elliptikus görbéken értelmezett meromorf függvényeket elliptikus függvényeknek nevezik.

Példák[szerkesztés]

A gamma-függvény meromorf a teljes komplex síkon
  • Polinomfüggvények hányadosai, azaz a racionális függvények meromorfak a komplex síkon. Racionális függvény például az alábbi hozzárendelés:
  • Meromorf a gamma-függvény is a teljes komplex síkon.
  • A Riemann-féle zéta függvény is meromorf a teljes komplex síkon.
  • Meromorfak a teljes komplex síkon alábbi hozzárendelések is:

Ellenpéldák[szerkesztés]

Az

függvény, bár az origón kívül mindenhol értelmezve van, nem meromorf a komplex síkon, mivel a 0-beli szingularitása nem pólus, hanem lényeges szingularitás. Viszont meromorf (mivel holomorf) a halmazon.
  • Ehhez hasonlóan az
függvénynek minden alakú pontban szingularitása van, de nem meromorf -n, mivel a 0-beli szingularitása megszüntethető szingularitás: , tehát nem pólus.
  • A komplex logaritmusnak

nincs a teljes komplex síkon meromorf ága, mivel nem definiálható úgy, hogy csak izolált pontokat zárunk ki az értelmezési tartományból.

  • Az függvény nem meromorf, mivel a pólusok torlódási pontja, ezért nem izolált szingularitás.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Mivel a meromorf függvény pólusai izoláltak, legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok lehet belőlük. Számosságuk azonban nem feltétlenül véges. Az alábbi példában f megszámlálhatóan végtelen sok pólussal rendelkezik:

Többváltozós eset[szerkesztés]

Többváltozós esetben a holomorf függvények hányadosaként definiálják a meromorf függvényeket. Például meromorf a kétdimenziós komplex affin téren. Itt már nem igaz, hogy a meromorf függvények holomorf függvénynek tekinthetők a pólusokon kívül, aminek értékei a Riemann-gömbből veszi fel; van egy két kodimenziós határozatlansági halmaz; a példában ez egy pont, a .

Magasabb dimenziókban vannak komplex sokaságok, ahol nincsenek nem konstans meromorf függvények. Ilyenek például a komplex tóruszok.

Irodalom[szerkesztés]

  • Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002) 

Lang, Serge (1999), Complex analysis (4th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98592-3

Zassenhaus, Hans (1937), Lehrbuch der Gruppentheorie (1st ed.), Leipzig, Berlin: Verlag und Druck von B.G.Teubner