Prímideál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Egy prímideál az algebrában egy gyűrű olyan ideálja, ami számos tekintetben a prímszámok fogalmának felel meg.

Definíció[szerkesztés]

Egy kommutatív, egységelemes gyűrű ideálja akkor prímideál, ha

vagy .

A prímideálok halmazát a gyűrű spektrumának nevezzük és -rel jelöljük. A spektum a Zariski-topológiával ellátva topologikus térré tehető.

Példák[szerkesztés]

  • A racionális egészek gyűrűjében a prímideálok alakúak, ahol vagy prímszám.
  • A polinomgyűrűben a és által generált ideál prímideál, és pontosan azokból a polinomokból áll, amiknek konstans tagja páros szám.
  • Alaptételes gyűrűben egy irreducibilis elem által generált ideál prímideál.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Egy ideál akkor és csak akkor prímideál, ha nullosztómentes.
  • Minden maximális ideál prím, de a megfordítás általában nem igaz.
  • Krull tétele szerint tetszőleges -ben létezik maximális ideál, következésképpen prímideál is.
  • Egy ideál akkor és csak akkor prímideál, ha multiplikatívan zárt halmaz. Ez a prímideálnál vett lokalizált fogalmához vezet; ezt helyett rövidebben -vel szokás jelölni.
  • Prímideál gyűrűhomomorfizmusnál vett ősképe prímideál.

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Prime ideal című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Primideal című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.