Arkhimédészi testek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az arkhimédészi testek sok szimmetriájú, féligszabályosnak is nevezett, konvex testek. Két, vagy többféle szabályos sokszög alkotja a lapjaikat és csúcsalakzataik is egybevágók (de már nem mindig szabályosak, mint az fönnáll a szabályos testekre). Különböznek tehát a platoni, vagy szabályos testektől. Nem soroljuk közéjük a prizmákat és az antiprizmákat sem, mert ezeknek kitüntetett forgástengelyük van.

Nevük eredete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az arkhimédészi testek a nevüket Arkhimédészről kapták, aki részletesen tárgyalta őket egy elveszett munkájában. A reneszánszban kezdték a művészek ismét nagyra értékelni a tiszta formákat és újrafölfedezték őket. 1620-ban Johannes Kepler tette teljessé az ilyen testek körét, aki együtt tárgyalta őket a prizmákkal és az antiprizmákkal.

Osztályozásuk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

13 archimedészi test van. (Illetve 15 akkor, ha a tükörképi változatokat is figyelembe vesszük az enantiomorf pároknál). Legegyszerűbb megadni őket a csúcsalakzataikkal: azokkal a szabályos sokszögekkel, amik találkoznak egy csúcsukban. Például a (4,6,8) csúcsalakzat azt jelenti, hogy egy csúcsban egy négyzet, egy szabályos hatszög és egy szabályos nyolcszög találkozik.

A test neve
(Csúcsalakzat)
Áttetsző ábrája Szilárd test ábrája Kiteregetett hálózatos ábrája Lapok Lapok
(típusuk szerint)
Élek Csúcsok A gömbi szimmetriacsoportok listája
csonkított tetraéder
(3.6.6)
Truncated tetrahedron
(Animation)
Truncated tetrahedron.png Truncated tetrahedron flat.svg 8 4 háromszög
4 hatszög
18 12 Td
kuboktaéder
(3.4.3.4)
Cuboctahedron
(Animation)
Cuboctahedron.png Cuboctahedron flat.svg  14  8 háromszög
6 négyzet
24 12 Oh
csonkított kocka
vagy csonkított hexaéder
(3.8.8)
Truncated hexahedron
(Animation)
Truncated hexahedron.png Truncated hexahedron flat.svg 14 8 háromszög
6 nyolcszög
36 24 Oh
csonkított oktaéder
(4.6.6)
Truncated octahedron

(Animation)

Truncated octahedron.png Truncated octahedron flat.png 14 6 négyzet
8 hatszög
36 24 Oh
rombikuboktaéder
vagy kis rombikuboktaéder
(3.4.4.4 )
Rhombicuboctahedron
(Animation)
Small rhombicuboctahedron.png Rhombicuboctahedron flat.png 26 8 háromszög
18 négyzet
48 24 Oh
csonkított kuboktaéder
vagy nagy rombikuboktaéder
(4.6.8)
Truncated cuboctahedron
(Animation)
Great rhombicuboctahedron.png Truncated cuboctahedron flat.svg 26 12 négyzet
8 hatszög
6 nyolcszög
72 48 Oh
pisze kocka
vagy pisze hexaéder
vagy pisze kuboktaéder
(2 királis alak)
(3.3.3.3.4)
Snub hexahedron (Ccw)
(Animation)
Snub hexahedron (Cw)
(Animation)
Snub hexahedron.png Snub cube flat.svg 38 32 háromszög
6 négyzet
60 24 O
ikozidodekaéder
(3.5.3.5)
Icosidodecahedron
(Animation)
Icosidodecahedron.png Icosidodecahedron flat.svg 32 20 háromszög
12 ötszög
60 30 Ih
csonkított dodekaéder
(3.10.10)
Truncated dodecahedron
(Animation)
Truncated dodecahedron.png Truncated dodecahedron flat.png 32 20 háromszög
12 tízszög
90 60 Ih
csonkított ikozaéder
vagy Fullerén
vagy Futball-labda/focilabda
(5.6.6 )
Truncated icosahedron
(Animation)
Truncated icosahedron.png Truncated icosahedron flat-2.svg 32 12 ötszög
20 hatszög
90 60 Ih
rombikozidodekaéder
vagy kis rombikozidodekaéder
(3.4.5.4)
Rhombicosidodecahedron
(Animation)
Small rhombicosidodecahedron.png Rhombicosidodecahedron flat.png 62 20 háromszög
30 négyzet
12 ötszög
120 60 Ih
csonkított ikozidodekaéder
vagy nagy rombikozidodekaéder
(4.6.10)
Truncated icosidodecahedron
(Animation)
Great rhombicosidodecahedron.png Truncated icosidodecahedron flat.svg 62 30 négyzet
20 hatszög
12 tízszög
180 120 Ih
pisze dodekaéder
vagy pisze ikozidodekaéder
(2 királis alak)
(3.3.3.3.5)
Snub dodecahedron (Ccw)
(Animation)
Snub dodecahedron (Cw)
(Animation)
Snub dodecahedron ccw.png Snub dodecahedron flat.svg 92 80 háromszög
12 ötszög
150 60 I

A kuboktaéder és az ikozidodekaéder élei uniformok, ezért kváziszabályos testeknek is nevezik őket.

A pisze kockát és a pisze dodekaédert királis testeknek is nevezik, mert előállnak balkezes (latinul: laevo bal, levomorf) alakban is és jobbkezes (latinul: dextro jobb, dextromorf) alakban is. Ha egy háromdimenziós alakzat előáll úgy, mint két alakzat tükörképi párja, akkor ezeket a testeket enantiomorf pároknak nevezzük. Ezt a szakkifejezést főleg a kémiai vegyületekre használják.

Az arkhimédészi testek duális párját alkotó testeket Catalán-testeknek nevezik. Ezeknek a csúcsalakzataik a szabályosak, lapjaik pedig egybevágó, de nem szabályos lapok.

A platoni és arkhimédészi testek periódusos rendszere[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha megengedjük, hogy a platoni és arkhimédészi testek több példányban is előforduljanak, akkor a duális platoni testek fölhasználásával a következő periodikus táblázatot állíthatjuk össze.

Kocka és oktaéder duális helyzete között három arkhimédészi testet találunk, ha csonkítással jutunk el egyiktől a másikig - itt éppen a kockától az oktaéderig. Hasonlítsuk össze ezt az ábrát a táblázat második sorával.
A platoni és arkhimédészi testek periódusos rendszere. A szabályos testek gömbre vetített változatukban vannak ábrázolva. A snub truncation a pisze testeket jelöli (truncation= csonkítás).

Középen állnak az egyszerű csonkítási sor tagjai. Például a kocka esetén ezek a következők: (A táblázatban is használt Steiner szimbólummal adjuk meg őket): (3,3,3,3), (4,6,6), (3,4,3,4), (3,8,8), (4,4,4). Vagyis az oktaéderrel kezdődő és a kockával végződő (az ábrán a középső) sort adtuk itt meg.

Megszoktuk, hogy az egyedi eseteket soroljuk föl egy-egy készlet megadásánál. Ezt tesszük a platoni testek és az arkhimédészi testek fölsorolásánál is. Azonban a rajtuk lévő sokféle szabályosság lehetővé teszi azt is, hogy tömörebben ábrázoljuk őket, táblázatosan. Ezért azonban árat kell fizetni. Ez az ár pedig az, hogy szerepköre, vagyis a csonkítás alapján, egyféle testnek a sorban többször is meg kell jelennie. Ezen az áron viszont egy szemléletes és jól áttekinthető táblázathoz jutunk és ez nem kis előny.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Coxeter, H. S. M. (1987): Geometriák alapjai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest
  • Coxeter, H. S. M. (1948): Regular Polytopes. Methuen and Co.,
  • Coxeter, H. S. M. (1974): Regular Complex Polytopes. Cambridge University Press,
  • Fejes Tóth L. (1964): Regular figures. Pergamon Press, 1964, xi+339 pp
  • Lakatos I. (1988): Bizonyítások és cáfolatok. Typotex Könyvkiadó, Budapest
  • Bérczi Sz. (1979): A szabályos és féligszabályos (platoni és archimedészi) testek és mozaikok periódusos rendszere. Középiskolai Matematikai Lapok. 59. 5.sz. 193-199.old
  • Bérczi Sz. (1990): Szimmetria és struktúraépítés. Egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó, Budapest
  • Bérczi Sz. (1992): Sejtautomaták: platoni és archimedészi testeken át. Iskolakultúra. II. 22.sz. 30-43. . (HU ISSN 1215 5233)
  • Bérczi Sz. (1993): Double Layered Equation of Motion: Platonic and Archimedean Cellular Automata in the Solution of the Indirect Von Neumann Problem on Sphere for Transformations of regular Tessellations. Acta Mineralogica et Petrographica, Szeged, XXXIX. p. 96-117. (HU ISSN 0365 8006)
  • Bérczi Sz. (2003): From the Periodic System of Platonic and Archimedean Solids and Tessellations to the 4D Regular Polyhedra and Tessellations (with Extensions to Some 5D Polytopes). Symmetry: Culture and Science, 11. No. 1-4. p. 125-137. (ISSN 0865 4824)

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]