Argumentumelv

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search
Az egyszerű zárt C görbe (feketével), f nullhelyei (kékkel) és f pólusai (pirossal). Itt .

A komplex függvénytanban az argumentumelv kapcsolatba hozza egy meromorf függvény nullhelyeinek és pólusainak számát a függvény logaritmikus deriváltjának zárt út mentén való integráljával.

Speciálisan, ha f(z) meromorf egy zárt görbe, C belsejében és a görbén, és az f függvénynek nincsenek a C görbén nullhelyei illetve pólusai, akkor

ahol N és P rendre a nullhelyek és pólusok számát jelöli a C görbe belsejében multiplicitással illetve renddel számolva. A tételnek ez a alakja feltételezi, hogy a C görbe egyszerű, és az óramutató járásával ellentétesen irányított.

Általánosabban feltesszük hogy f(z) meromorf a komplex sík egy Ω nyílt részhalmazán, és legyen C zárt görbe az Ω halmazon, és itt összehúzható egy pontra, továbbá elkerüli f(z) nullhelyeit és pólusait. Jelölje minden z ∈ Ω esetén n(C,z) a C z körüli körülfordulási számát. Ekkor :,

ahol az első összeg f nullhelyein megy végig multiplicitással, és a második f pólusain renddel számítva.

A körintegrál értelmezése[szerkesztés]

Az körintegrál értelmezhető, mint az f(C) nulla körüli körülfordulási számának 2πi-szerese, az w = f(z) helyettesítéssel:

Ez f(z) argumentumának teljes megváltozása, ahogy z bejárja a teljes C görbét; ez magyarázza a tétel elnevezését, és következik abból, hogy:

és az argumentum és a logaritmus kapcsolatából.

Általánosítása[szerkesztés]

Ha g analitikus a teljes tartományban, akkor:

ahol az első összeg f nullhelyeit futja be multiplicitással, és a második f pólusait renddel.

Alkalmazásai[szerkesztés]

Az argumentumelv használható gyökök és pólusok keresésére számítógéppel. Az kifejezés még kerekítési hibákkal is közel egész lesz. Különböző C görbékkel információhoz juthatunk a nullhelyek és a pólusok elhelyezkedéséről. A Riemann-sejtést is argumentumelvvel tesztelik, hogy felső korlátot adjanak a Riemann-féle kszi függvény nullhelyeire a kritikus egyenest metsző téglalapok használatával.

Rouché tételének bizonyítása felhasználja az argumentumelvet.

A visszacsatolás ellenőrzésének elméletéről szóló modern könyvek az argumentumelvvel alapozzák meg a Nyquist stabilitási kritériumot.

Egy általánosabb megfogalmazásban, ha g analitikus, akkor

Például, ha f polinom, és gyökei a C görbe belsejében z1, ..., zp, és g(z) = zk, akkor

f gyökeinek hatványösszeg szimmetrikus polinomja.

Egy másik következmény, hogy ha alkalmasan választjuk az f és a g függvényeket, akkor az

integrál az Abel–Plana-formulát adja:

ami kifejezi a kapcsolatot egy direkt összeg és integrálja között.

Bizonyítása[szerkesztés]

Legyen zN nullhelye f-nek. Írhatjuk, hogy f(z) = (z − zN)kg(z)

ahol k a nullhely multiplicitása, így g(zN) ≠ 0. Kapjuk, hogy

és

Mivel g(zN) ≠ 0, következik, hogy a g' (z)/g(z) függvénynek nincs szingularitása zN-ben, ezért itt analitikus, ennek következtében f′(z)/f(z) reziduuma a zN helyen k.

Legyen zP pólusa f-nek. Írhatjuk, hogy 'f(z) = (z − zP)mh(z)

ahol m a pólus rendje, és h(zP) ≠ 0. Ekkor a fentiekhez hasonlóan

és

Következik, hogy a h′(z)/h(z) függvénynek nincs szingularitása a zP helyen, mivel h(zP) ≠ 0, ezért itt analitikus, ennek következtében f′(z)/f(z) reziduuma a zP helyen −m.

Összetéve: f minden k-szoros zN nullhelye az f′(z)/f(z) egyszerű pólusa k reziduummal, és minden m rendű zP pólus f′(z)/f(z) egyszerű pólusa, −m reziduummal. Továbbá megmutatható, hogy az f′(z)/f(z) függvénynek nincsenek további pólusai, így további reziduumai sem.

A reziduumtétel miatt a C menti integrál 2πi és a reziduumok szorzata. Továbbá az összeg k minden zN esetén, a nullhelyeket multiplicitással számolva, és hasonló teljesül a pólusokra is, így a tétel bizonyítása kész.

Története[szerkesztés]

Frank Smithies könyve szerint (Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997, p. 177) Augustin-Louis Cauchy 1831 november 27-én egy fentihez hasonló tételt mutatott be Turinban, a Piemont-Szardínia Királyság fővárosában, Franciaországtól távol. Azonban abban a tételben csak nullhelyekről volt szó, pólusokról nem. 1874-ben adták ki a képletet, de kézírásos formában, ami így nehezen olvasható. Cauchy 1855-ben egy cikkben diszkutálta a tételt, és abban már a pólusok is benne voltak.

Források[szerkesztés]

  • Rudin, Walter. Real and Complex Analysis (International Series in Pure and Applied Mathematics). McGraw-Hill (1986). ISBN 978-0-07-054234-1 
  • Ahlfors, Lars. Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. McGraw-Hill (1979). ISBN 978-0-07-000657-7 
  • Complex Variables and Applications. McGraw-Hill (1989). ISBN 978-0-07-010905-6 
  • Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta(s) de Riemann, C. R. Acad. Sci. Paris 158, 1979-1982.