Logaritmikus derivált

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A logaritmikus derivált egy függvény logaritmusának deriváltját[1] jelenti, definíció szerint , ahol f ′ az f függvény deriváltja

Ha f a valós x változó f(x) függvénye, és valós, szigorúan pozitív értékeket vesz fel, akkor egyenlő az ln(f) deriváltjával, vagy az f természetes logaritmusának a deriváltjával. Ez a láncszabályból következik.

Alapvető tulajdonságok[szerkesztés]

Lényeges tulajdonsága, hogy nem függ f értékeinek mértékegységétől.

Közgazdaságtanban ezt rugalmasságnak szokás nevezni.

A valós logaritmus több tulajdonsága is vonatkozik a logaritmikus deriváltra, még abban az esetben is, amikor a függvény értékei nem pozitív valós számok.

Például, egy szorzat logaritmusa, az egyes tagok logaritmusának az összege, kapjuk:

Az általánosított Leibniz-törvényt is alkalmazhatjuk egy szorzat deriváltjára:

Így bármely függvényre igaz, hogy egy szorzat logaritmikus deriváltja az egyes tagok logaritmikus deriváltjának az összege (ha azok definiáltak). Hasonlóan (valójában ez az előbbiekből következik), egy függvény reciprokának a logaritmikus deriváltja a függvény logaritmikus deriváltjának a negáltja:

mivel egy pozitív valós szám reciprokának a logaritmusa, a szám logaritmusának a negáltja. Még általánosabban, egy hányados logaritmikus deriváltja, az osztandó és az osztó logaritmikus deriváltjainak a különbsége:

Egy másik irányban általánosítva, egy hatvány logaritmusa (valós, állandó kitevővel) az alap logaritmikus deriváltjának és az exponens szorzata: Összefoglalva, mind a deriváltnak, mind a logaritmusnak van szorzatszabálya, reciprokszabálya, hányadosszabálya, és kitevőszabálya; mindegyik szabály kapcsolódik a logaritmikus deriválthoz.

Derivált számítás logaritmikus deriválttal[szerkesztés]

A logaritmikus derivált alkalmazása leegyszerűsítheti a derivált számítást, ahol szükség van a szorzatszabályra. A folyamat a következő: tegyük fel, hogy ƒ(x) = u(x)v(x), és szeretnénk kiszámolni ƒ'(x)-et. Ahelyett, hogy közvetlenül számolnánk, a logaritmikus deriválttal számolunk:

ƒ-fel végigszorozva, lesz ƒ':

Ez a technika akkor nagyon hasznos, a ƒ sok tényező szorzata. Ez a technika lehetővé teszi ƒ' kiszámítását, minden egyes tényező logaritmikus deriváltjának összegezésével, és megszorozva ƒ-fel.

Példák[szerkesztés]

Irodalom[szerkesztés]

  • Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 9789632790268  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]