Véges térfogat módszere

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A véges térfogat módszere (finite-volume method (FVM)) módszer parciális differenciálegyenletek algebrai alakban való kiértékelésére és ábrázolására. Hasonló a véges differencia módszeréhez vagy végeselem módszeréhez az elemeket egy diszkrét helyen hálós térben számoljuk. A véges térfogat utal egy kis térfogatra amely minden hálópontot körülvesz. Ez a módszer könnyen használható strukturálatlan anyagok esetén.

1D példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vegyük a következő egyszerű 1D advekciós parciális differenciál egyenletet.

\quad (1) \qquad \qquad \frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}=0,\quad t\ge0.

Itt,  \rho=\rho \left( x,t \right) \ jelenti az állapotváltozót és  f=f \left( \rho \left( x,t \right) \right) \ jelenti a fluxusát vagy áramlását a  \rho \ -nak. Természetesen, a pozitív  f \ jelenti a jobb oldali áramlást míg a negatív  f \ jelenti a bal oldali áramlást. Ha feltételezzük, hogy az (1) egyenlet egy állandó területű áramló közeg akkor tudjuk felosztani az  x \ térbeli területtel véges térfogatokra vagy cellákra  i \ indexű cellaközpontokkal. Bizonyos  i \ indexű cellák esetében meg tudjuk határozni a térfogat szerinti átlagos értékét a  {\rho }_i \left( t \right) = \rho \left( x, t \right) \ -nak a  {t = t_1 }\ időpillanatba és az { x \in \left[ x_{i-\frac{1}{2}} , x_{i+\frac{1}{2}} \right] }\ térfogatelemen, mint

\quad (2) \qquad \qquad \bar{\rho}_i \left( t_1 \right) = \frac{1}{ x_{i+\frac{1}{2}} - x_{i-\frac{1}{2}}} \int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} \rho \left(x,t_1 \right)\, dx ,

és a  {t = t_2}\ időpillanatba mint,

\quad (3) \qquad \qquad \bar{\rho}_i \left( t_2 \right) = \frac{1}{x_{i+\frac{1}{2}} - x_{i-\frac{1}{2}}} \int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} \rho \left(x,t_2 \right)\, dx ,

ahol  x_{i-\frac{1}{2}} \ és  x_{i+\frac{1}{2}} \ jelentik az alsó és felső felületét vagy az éleit a  i^{th} \ cellának.

Ha integráljuk az (1) egyenletet idő szerint akkor kapjuk:

\quad (4) \qquad \qquad \rho \left( x, t_2 \right) = \rho \left( x, t_1 \right) - \int_{t_1}^{t_2} f_x \left( x,t \right)\, dt,

ahol f_x=\frac{\partial f}{\partial x}.

Ahhoz, hogy megkapjuk az átlag térfogatot a  \rho\left(x,t\right) a  t=t_{2} \ időpillanatban, integráljuk a  \rho\left(x,t_2 \right) a \left[ x_{i-\frac{1}{2}} , x_{i+\frac{1}{2}} \right] cellatérfogaton és osszuk az eredményt \Delta x_i = x_{i+\frac{1}{2}}-x_{i-\frac{1}{2}} , i.e.

 \quad (5) \qquad \qquad \bar{\rho}_{i}\left( t_{2}\right) =\frac{1}{\Delta x_i}\int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}}\left\{ \rho\left( x,t_{1}\right) - \int_{t_{1}}^{t_2} f_{x} \left( x,t \right) dt \right\} dx.

Feltételezzük, hogy  f \ jól viselkedik és megtudjuk cserélni az integrálás sorrendjét. Továbbá, az áramlás merőleges a sejtelemre. Most, amíg egy dimenziójú az f_x \triangleq \nabla f , tudjuk alkalmazni a divergenciatételt, azaz \oint_{v}\nabla\cdot fdv=\oint_{S}f\, dS és helyettesítjük a térfogati integrált az f(x) \ értékeinek divergenciájával a (élek x_{i-\frac{1}{2}} \ és  x_{i+\frac{1}{2}} \ ) cella felületén úgy hogy a véges térfogat:

\quad (6) \qquad \qquad \bar{\rho}_i \left( t_2 \right) = \bar{\rho}_i \left( t_1 \right)

- \frac{1}{\Delta x_{i}}
 \left( \int_{t_1}^{t_2} f_{i + \frac{1}{2}} dt
- \int_{t_1}^{t_2} f_{i - \frac{1}{2}} dt
\right) .

ahol f_{i \pm \frac{1}{2}} =f \left( x_{i \pm \frac{1}{2}}, t \right) .

Tehát származtathatunk egy fél diszkrét numerikus rendszert a fenti cellaközpontú problémát  i\ -vel indexelve és a cella élének fluxusát  i\pm\frac{1}{2} indexelve, differenciálva a (6) adott időben kapjuk:

\quad (7) \qquad \qquad \frac{d \bar{\rho}_i}{d t} + \frac{1}{\Delta x_i} \left[ f_{i + \frac{1}{2}} - f_{i - \frac{1}{2}} \right] =0 ,

ahol az élek fluxusa,  f_{i \pm \frac{1}{2}} , rekonstruálható a cella átlagok inter- vagy extrapolációjával. A (7) egyenlet egzakt a térfogatátlagot tekintve; deriválása során nem használtunk approximációt.

Általános megmaradási tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az általános megmaradási tételt a következő parciális differenciálegyenletként is tekinthetjük,

 \quad (8) \qquad \qquad {{\partial {\mathbf u}} \over {\partial t}} + \nabla \cdot {\mathbf f}\left( {\mathbf u } \right) = {\mathbf 0} .

Itt, az  {\mathbf u} \ jelképezi az állapotvektor és \mathbf f \ jelképezi a megfelelő fluxus tenzort. Megint feltudjuk osztani a térbeli domíniumot véges térfogatelemekre vagy cellákra. Bizonyos i \ cellákra, elvégezhetjük a térfogat integrálást a cella teljes térfogatára, v _{i} \ , amiből kapjuk:

 \quad (9) \qquad \qquad \int _{v_{i}} {{\partial {\mathbf u}} \over {\partial t}}\, dv
+ \int _{v_{i}} \nabla \cdot {\mathbf f}\left( {\mathbf u } \right)\, dv = {\mathbf 0} .

Az első kifejezés integrálásával megkapjuk az átlag térfogatot és alkalmazzuk a divergencia tételét a második kifejezésre, így a hozam:

\quad (10) \qquad \qquad
v_{i} {{d {\mathbf {\bar u} }_{i} } \over {dt}} + \oint _{S_{i} }
 {\mathbf f} \left( {\mathbf u } \right) \cdot {\mathbf n }\ dS = {\mathbf 0},

ahol  S_{i} \ jelképezi a teljes felületét a cella területnek és {\mathbf n} egy egységvektor normálisa a felületre és kifele mutat. Tehát végülis képesek vagyunk megmutatni egy általános ekvivalens eredményt a (8),

 \quad (11) \qquad \qquad {{d {\mathbf {\bar u} }_{i} } \over {dt}} + {{1} \over {v_{i}} } \oint _{S_{i} }
 {\mathbf f} \left( {\mathbf u } \right)\cdot {\mathbf n }\ dS = {\mathbf 0} .

Ismét,az élek fluxusainak értékei rekonstruálhatók a cellák átlagának inter-, extrapolációjával. Az aktuális numerikus rendszer függ az aktuális geometriai problémától és az anyag szerkezetétől.

A véges térfogat rendszerek konzervatívak mint a cella átlagok változása az élek fluxusán keresztül. Más szavakkal, hogy egy cella eltűnik mások megnőnek.

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Finite volume method című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
  • LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
  • Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]