Gauss–Osztrogradszkij-tétel

A Gauss–Osztrogradszkij-tétel (divergenciatétel) segítségével az integrálegyenleteket differenciális alakra hozhatjuk. Maga a tétel egy vektor zárt felületre vett integrálja és ugyanezen vektor divergenciájának térfogati integrálja között teremt kapcsolatot. A tétel szerint tetszőleges F zárt felület által határolt V térfogatban definiált nem szinguláris A(x) vektormezőre fennáll, hogy A divergenciájának térfogati integrálja megegyezik A felületből kifelé irányított normálirányú komponensének felületi integráljával

$\oint_F \mathbf{A} \cdot \mathbf{n} dF =\int_V\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{A}d^3x,$

egyszerűbb írásmóddal

$\oint_F\mathbf{A}\mathbf{dF} =\int_Vdiv\mathbf{A}dV.$

Más szavakkal az A vektortérnek a zárt F felületen átmenő skaláris fluxusa egyenlő A divergenciájának az F által bezárt V térfogatra kiterjedő integráljával.

Ugyanez komponensenként kiírva derékszögű koordinátákkal:

$\int\int(A_x dydz+A_y dxdz+A_z dxdy)=\int\int\int(\frac{\partial{A_x}}{\partial{x}}+\frac{\partial{A_y}}{\partial{y}}+\frac{\partial{A_z}}{\partial{z}})dxdydz.$

Ez a fizikai Gauss-törvényben a következőképpen jelenik meg. Vegyük a Gauss-törvény integrális összefüggését:

$\oint_F\mathbf{E}\cdot\mathbf{n}dF=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(\mathbf{x})d^3x.$

Alkalmazva a divergenciatételt, majd az egyenletet átrendezve az

$\int_V(\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}-\frac{\rho}{\varepsilon_0})d^3x=0$

egyenletet kapjuk.

Mivel a V térfogat tetszőleges, ezért az integrál csak akkor lesz zérus, ha az integrandus is zérussal egyenlő, azaz:

$\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.$

Ezzel tehát valóban megkaptuk az elektrosztatika Gauss-törvényének differenciális alakját.

Általánosítás

Legyen (M,g) egy legalább C^2 osztályú sokaság, N egy irányítottm peremes részsokasága N-nek, és legyen A egy kompakt tartójú dim(N)-1-forma a M-en! Ekkor fennáll az alábbi összefüggés:

$\int_{\partial{N}}A_{\partial{N}}=\int_{\partial{N}}dA$

ahol 'd' a külső deriválás operátor, továbbá egy topologikus térből vektor térbe érkező függvényt akkor mondunk kompakt tartójúnak, ha a zérushelyeinek halmaza relatív kompakt (a lezártja kompakt).

Ha a sokaság Riemann, akkor az 1-formák tere azonosítható a vektormezők terével, valamint, ha a sokaság 3-dimenziós, akkor a Reimann-struktúra segítségével a rotáció definiálható. Ekkor a fenti tétel az ismert integráltételek (Newton-Leibniz, Gauss, Stokes, Green) közös általánosításaként fogható fel.

Források

• Divergenciatétel
• Példák a tételre
• Divergencia
• John David Jackson: Klasszikus elektrodinamika (Typotex, Budapest, 2004) (Információ a kiadványról: 1. és 2.)
• Matematikai zsebkönyv (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974)
• Fekete Zoltán-Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise (A könyv adatlapja a Molyon)