Normalizáló állandó

A normalizáló állandó koncepciója a valószínűségszámítás és a matematika egyes területeiről származik.

Meghatározás

A normalizáló állandó egy konstans, mellyel megszorozva egy sehol-sem-negatív függvény, annak görbe alatti területe 1 lesz. Más szavakkal a normalizáló konstans az egységnyi integrálértéket biztosítja. Például ezzel előállítható a sűrűségfüggvény, vagy a tömegfüggvény.

Példák

Ha például definiáljuk a:

$p(x)=e^{-x^{2}/2},x\in (-\infty ,\infty )$ függvényt, akkor kapjuk:

$\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,dx={\sqrt {2\pi \,}},$

Ha $\varphi (x)$ függvényt a következőképpen definiáljuk:

$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}$

akkor

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}\,dx=1$

$\varphi (x)$ függvény a sűrűségfüggvény. Ez a standard normális eloszlás sűrűsége (a standard azt jelenti, hogy a középérték=0, a szórásnégyzet=1). A ${\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}$ konstans a $p(x)$ függvény normalizáló állandója. Hasonlóképpen:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}=e^{\lambda },$

és így:

$f(n)={\frac {\lambda ^{n}e^{-\lambda }}{n!}}$

a valószínűségi tömegfüggvény a nem negatív egészek tartományában. Ez a Poisson-eloszlás tömegfüggvénye λ várható értékkel. A Boltzmann-eloszlás parametrizált normalizáló állandója központi szerepet játszik a statisztikus mechanikában. Ebben a kontextusban normalizáló állandót partíció függvénynek hívják.

Nem sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos felhasználás

Az Legendre-polinomok jellemezhetők ortogonalitással, tekintettel az egyenletes mérésre a [-1,1] intervallumban. Az a szorzótényező, mellyel 1 értékűvé válik a polinom, az a normalizáló állandó. Ortonormális függvények is normalizálhatók:

$\langle f_{i},\,f_{j}\rangle =\,\delta _{i,j}$

tekintettel egy belső szorzatra: <f, g>.

Az 1/√2 konstans segítségével létrehozhatók hiperbolikus függvények ( hiperbolikus szinusz és a hiperbolikus koszinusz) a hiperbolikus háromszög oldalaiból.

Irodalom

• Solt György: Valószínűségszámítás. (hely nélkül): Műszaki könyvkiadó. 2006.  
• Ketskeméty László: Valószínűségszámítás tömören. (hely nélkül): Aula Kiadó. 2009. ISBN 9789639698215  

Kapcsolódó szócikkek

• Eloszlásfüggvény
• Poisson-eloszlás
• Partíció függvény
• Valószínűségszámítás
• Sűrűségfüggvény
• Statisztika
• Matematika
• hiperbolikus háromszög
• Legendre-polinomok