Normalizáló állandó

A normalizáló állandó koncepciója a valószínűség-számítás, és a matematika egyes területeiről származik.

Meghatározás

A normalizáló állandó egy konstans, mellyel megszorozva egy sehol-sem-negatív függvény, annak görbe alatti területe 1 lesz. Más szavakkal, a normalizáló konstans az egységnyi integrálértéket biztosítja. Például, ezzel előállítható a sűrűségfüggvény, vagy a tömegfüggvény.

Példák

Ha például definiáljuk a:

$p(x)=e^{-x^2/2}, x\in(-\infty,\infty)$ függvényt,

akkor kapjuk:

$\int_{-\infty}^\infty p(x)\,dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi\,},$

Ha $\varphi(x)$ függvényt a következőképpen definiáljuk:

$\varphi(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} e^{-x^2/2}$

akkor

$\int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,dx=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} e^{-x^2/2}\,dx=1$

$\varphi(x)$ függvény a sűrűségfüggvény. Ez a standard normális eloszlás sűrűsége (a standard azt jelenti, hogy a középérték=0, a szórásnégyzet=1). A $\frac{1}{\sqrt{2\pi\,}}$ konstans a $p(x)$ függvény normalizáló állandója. Hasonlóképpen:

$\sum_{n=0}^\infty \frac{\lambda^n}{n!}=e^\lambda ,$

és így:

$f(n)=\frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$

a valószínűségi tömegfüggvény a nem negatív integerek tartományában. Ez a Poisson-eloszlás tömegfüggvénye λ várható értékkel. A Boltzmann-eloszlás parametrizált normalizáló állandója központi szerepet játszik a statisztikus mechanikában. Ebben a kontextusban normalizáló állandót partició függvénynek hívják.

Nem sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos felhasználás

Az Legendre-polinomok jellemezhetők ortogonalitással, tekintettel az egyenletes mérésre az [1,-1] intervallumban. Az a szorzótényező, mellyel 1 értékűvé válik a polinom, az a normalizáló állandó. Ortonormális függvények is normalizálhatók:

$\langle f_i , \, f_j\rangle = \, \delta_{i,j}$

tekintettel egy belső szorztara: <f, g>.

Az 1/√2 konstans segítségével létrehozhatók hiperbolikus függvények ( hiperbolikus szinusz és a hiperbolikus koszinusz) a hiperbolikus háromszög oldalaiból.

Irodalom

• Solt György: Valószínűségszámítás. Műszaki könyvkiadó. 2006.
• Ketskeméty László: Valószínűségszámítás tömören. Aula Kiadó. 2009. ISBN 9789639698215

Kapcsolódó szócikkek

• Eloszlásfüggvény
• Poisson-eloszlás
• Partíció függvény

• Valószínűség-számítás
• Sűrűségfüggvény
• Statisztika
• Matematika
• hiperbolikus háromszög
• Legendre-polinomok