Normalizáló állandó

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A normalizáló állandó koncepciója a valószínűség-számítás, és a matematika egyes területeiről származik.

Meghatározás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A normalizáló állandó egy konstans, mellyel megszorozva egy sehol-sem-negatív függvény, annak görbe alatti területe 1 lesz. Más szavakkal, a normalizáló konstans az egységnyi integrálértéket biztosítja. Például, ezzel előállítható a sűrűségfüggvény, vagy a tömegfüggvény. [1][2]

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha például definiáljuk a:

p(x)=e^{-x^2/2}, x\in(-\infty,\infty) függvényt,

akkor kapjuk:

\int_{-\infty}^\infty p(x)\,dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi\,},

Ha  \varphi(x) függvényt a következőképpen definiáljuk:

\varphi(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} e^{-x^2/2}

akkor

\int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,dx=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} e^{-x^2/2}\,dx=1

 \varphi(x) függvény a sűrűségfüggvény[3]. Ez a standard normális eloszlás sűrűsége (a standard azt jelenti, hogy a középérték=0, a szórásnégyzet=1). A  \frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} konstans a p(x) függvény normalizáló állandója. Hasonlóképpen:

\sum_{n=0}^\infty \frac{\lambda^n}{n!}=e^\lambda ,

és így:

f(n)=\frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}

a valószínűségi tömegfüggvény a nem negatív integerek tartományában.[4] Ez a Poisson-eloszlás tömegfüggvénye λ várható értékkel. A Boltzmann-eloszlás parametrizált normalizáló állandója központi szerepet játszik a statisztikus mechanikában. Ebben a kontextusban normalizáló állandót partició függvénynek hívják.

Nem sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos felhasználás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Legendre-polinomok jellemezhetők ortogonalitással, tekintettel az egyenletes mérésre az [1,-1] intervallumban. Az a szorzótényező, mellyel 1 értékűvé válik a polinom, az a normalizáló állandó. Ortonormális függvények is normalizálhatók:

\langle f_i , \, f_j\rangle = \, \delta_{i,j}

tekintettel egy belső szorztara: <fg>.

Az 1/√2 konstans segítségével létrehozhatók hiperbolikus függvények ( hiperbolikus szinusz és a hiperbolikus koszinusz) a hiperbolikus háromszög oldalaiból.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Solt György: Valószínűségszámítás. (hely nélkül): Műszaki könyvkiadó. 2006. 
  • Ketskeméty László: Valószínűségszámítás tömören. (hely nélkül): Aula Kiadó. 2009. ISBN 9789639698215  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Continuous Distributions at University of Alabama.
  2. Feller, 1968, p. 22.
  3. Feller, 1968, p. 174.
  4. Feller, 1968, p. 156.