Legendre-polinomok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet partikuláris megoldásai. Speciális valós vagy komplex polinomok, amik ortogonális függvényrendszert alkotnak. Fontos szerepet játszanak az elméleti fizikában, különösen a kvantummechanikában és az elektrodinamikában. Adrien-Marie Legendre francia matematikus után kapták nevüket.

Származtatás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ortogonális polinomok konstrukciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Adva legyen az [a,b] intervallum, és egy rajta értelmezett \varrho(x) súlyfüggvény. A P_n\in\R[X] valós polinomsorozat ortogonális, ha teljesíti az

\int\limits_a^b \varrho(x) \, P_n(x) \, P_m(x) \, {\rm d}x = 0

ortogonalitási relációt minden m, n\in\Bbb N_0 m\neq n-re.

Az I = [-1,1] intervallum a \varrho(x) = 1 súlyfüggvénnyel ugyanazokat az ortogonális polinomokat adja, mint amiket a Gram-Schmidt ortogonalizáló eljárás iteratív alkalmazása a (x^n)_{n\in \Bbb N} monomokra, ha még az is teljesül, hogy P_n(1) = 1.

Legendre-differenciálegyenlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A P_n(x) Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet megoldásai:

(1-x^2)\,f''-2x\,f'+n(n+1)\,f=0,\quad n\in\mathbb{N}_0,

aminek ekvivalens alakja

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ (1-x^2) \, f'(x) \right] + n(n+1) \, f(x) = 0

A differenciálegyenlet megoldásának általános alakja

f(x)=A\,P_n(x)+B\,Q_n(x)

ahol P_n(x) jelöli a Legendre-polinomokat, más néven az elsőfajú Legendre-függvényeket, és Q_n(x) a másodfajú Legendre-függvényeket, amik nem polinomok.

Jellemzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az n-edik Legendre-polinom racionális együtthatós n-edfokú polinom. A Legendre-polinomok többféleképpen is számíthatók, és rekurzívan is előállíthatók.

Minden gyökük valós, és az I = [ − 1,1] intervallumban van. Pn(x) két gyöke között van egy gyöke Pn+1(x)-nek.

Továbbá

  • P_n(1) = 1
  • P_n(-x) = (-1)^n \, P_n(x)
  • P_{2\,n+1}(0) = 0

Teljes ortogonális rendszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Legendre-polinomok teljes ortogonális rendszert alkotnak a \langle f,g \rangle = \int_{-1}^1f(x)g(x){\rm d}x skalárszorzattal ellátott

 V:= L^2([-1,1]; \R) Hilbert-téren.

Az ortogonalitás azt jelenti, hogy

\langle P_n, P_m \rangle = 0 minden m \neq n-re.

\int\limits_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x)\, dx \,=\, \frac{2}{2n+1} \delta_{nm}, ahol \delta_{nm} a Kronecker-deltát jelöli.

A teljesség azt jelenti, hogy minden f\in V függvény végtelen sorba fejthető a Legendre-polinomok szerint:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n \, P_n(x)

a c_n = \frac{2\,n+1}{2} \, \int\limits_{-1}^1 f(x)\,P_n(x) \, {\rm d}x együtthatókkal.

A fizikában és a technikai irodalomban sokszor disztribúciós értelemben tekintik a teljességet:

\sum_{n=0}^\infty \frac{2\,n+1}{2} \, P_n(x') \, P_n(x) = \delta(x'-x),

ahol \delta a Dirac-deltát jelöli.

Előállítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Generátorfüggvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden x \in \mathbb{C}, z \in \mathbb{C}, |z| < 1-re

(1 - 2xz + z^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) z^n\ .

Itt a jobb oldali hatványsor konvergenciasugara 1.

Mindezek miatt a z \mapsto (1 - 2xz + z^2)^{-1/2} függvényt a P_n Legendre-polinomok generátorfüggvénye.

Rodrigues-formula[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

P_n(x) = \frac{1}{2^n\,n!}\cdot {\mathrm{d}^n \over \mathrm{d}x^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]

Egy alternatív képlet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

P_n(x) = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2} \left[ x^n - \frac{n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}x^{n-2} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}x^{n-4} \mp \cdots \right]

Előállítás integrálként[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden x \in \mathbb{C} \setminus \{+1, -1\}-re

P_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left[x + \sqrt{x^2 - 1} \cos\varphi\right]^n \, \mathrm{d}\varphi

Rekurziók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Legendre-polinomokra teljesülnek a következő rekurziók:

(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=1,2,\ldots)
 (x^2-1){\mathrm{d} \over \mathrm{d}x } P_n(x) = n xP_n(x)-nP_{n-1}(x)

Az első rekurzió n'=n+1 helyettesítéssel a következő alakba megy át:

nP_{n}(x) = (2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=2,3,\ldots)

Differenciálással

y^'=nx^{n-1} = nx^{-1}y, illetve y^{(m)} = (n-m+1)x^{-1}y^{(m-1)}

Így adódik az a rekurzió, ami magába foglalja a Legendre-polinomok deriváltjait is:

(n-m)P_{n}^{(m)}(x) = (2n-1)xP_{n-1}^{(m)}(x)-(n-1+m)P_{n-2}^{(m)}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n,m=0,1,\ldots)

A kezdeti feltételek

P_m^{(m)}(x)={(2m)! \over 2^m m!} és P_{m+1}^{(m)}(x)={(2m+1)! \over 2^mm!} .

m=0-re ismét a fenti képlet adódik kezdeti feltételekkel együtt.

Aszimptotikus formulák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A generátorfüggvény szingularitás analíziséből a következő aszimptotikus formulákhoz juthatunk:


P_n \left( {\cos \theta } \right) \sim \sqrt {\frac{2}{{\pi n\sin \theta }}} \sin \left( {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\theta + \frac{\pi }{4}} \right),

P_n \left( {\cosh \theta } \right) \sim \sqrt {\frac{2}{{\pi n\sinh \theta }}} \sinh \left( {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\theta } \right),

amint n \to +\infty, rögzített \theta >0 számra.

Az első Legendre-polinomok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az első néhány Legendre-polinom

Az első néhány Legendre-polinom:

P_0(x) = 1\,
P_1(x) = x\,
P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 - 1)
P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 - 3x)
P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)
P_5(x) = \frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)

Másodfajú Legendre-függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Legendre-polinomok rekurziós képletei a másodfajú Legendre-függvényekre is teljesülnek. Így az első Legendre-függvényből kiindulva

Q_0(x) = \frac{1}{2}\,\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right)={\rm artanh}(x)
Q_1(x) = \frac{x}{2}\,\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - 1 =x \, {\rm artanh}(x) - 1
Q_2(x) = \frac{3\,x^2 - 1}{4} \, \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \frac{3\,x}{2}
Q_3(x) = \frac{5\,x^3 - 3\,x}{4} \, \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \frac{5\,x^2}{2} + \frac{2}{3}

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]