Martingale-módszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A martingale-módszer egy szerencsejáték-stratégia, aminek során a játékos egyre növekvő tétekkel próbálja visszanyerni az eddigi veszteségeit. Eredetileg a 18. századi Franciaországban terjedt el egy egyszerű, pénzfeldobós szerencsejáték kapcsán; mára számos olyan játékban játsszák, ahol két egyforma valószínűségű kimenetelre lehet fogadni.

A stratégia abból áll, hogy a játékos mindig megduplázza a tétet. Mivel a nagy számok törvénye alapján előbb-utóbb nyernie kell, és az aktuális tét mindig kicsit nagyobb, mint az összes addig elvesztett tét együttvéve, az összesített eredményének előbb-utóbb pozitívnak kell lennie. Például ha kezdetben 1 egységben fogad, és csak tizedszerre nyer, akkor az első kilenc játék során 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512 = 1023 egységet veszít, a tizedik során azonban 1024-et nyer, így pluszba kerül. Ezután újból kezdheti egységnyi téttel, és így tovább.

Valójában a módszer csak akkor működne, ha a játékosnak végtelen sok pénze lenne, és bármilyen sokáig, és bármekkora tétekkel játszhatná a játékot. A valóságban előbb-utóbb bekövetkezik egy olyan hosszú vereségsorozat, ami alatt elfogy a pénze, vagy eléri a megengedett maximális feltehető összeget. Így a martingale-t játszók általában sok kis nyereség után egy katasztrofális veszteséggel fejezik be a játékot.

Matematikai megközelítés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fent leírt stratégia (különösen megfelelő tálalásban) rendkívül vonzóan hangzik, sok internetes kaszinó játékra buzdító, beetető oldalán hivatkoznak rá, mint a biztos nyerés lehetőségére. Valójában ez még a probléma rendkívül idealizált megközelítése esetén sem teljesül.

Vizsgáljuk meg a martingale-módszert például a francia rulett keretein belül! A feltevések a következők:

  • A játékos előre eldönti, mekkora nyereménnyel a zsebében kívánja befejezni a játékot. Jelöljük ezt C-vel!
  • A játékos a piros/fekete (vagy ezekkel megegyező nyerési esélyű) mezőkre rak. C értékű téttel kezd. Valahányszor veszít, a következő körben megduplázza a tétet, amikor először nyer, kiszáll a játékból. Siker esetén pont C-vel lesz gazdagabb, hiszen ilyen mezőkön a nyeremény a felrakott tét duplája.
  • A minimális tét (ha van), nem nagyobb C-nél, és egyéb tényezők (pl. időkorlát) sem zavarják meg a játékost, aki sosem tér el a stratégiától megrészegülve a kezdeti sikertől.
  • A megrakható téteknek vélhetően van felső korlátja, de ha mégse, a játékos rendelkezésre álló vagyonának mindenképp. Jelöljük M-mel a maximálisan megjátszható összeget!

Az utolsó pont lényegében elkerülhetetlen, a kutya pedig itt van elásva.

Elsőként számoljuk ki, hány kör alatt merül ki a vagyonunk (n)!


n = \left \lfloor \log_{2} \left ( \frac{M}{C} + 1 \right ) \right \rfloor =
    \left \lfloor \frac{\ln \left ( \frac{M}{C} + 1 \right )}{\ln 2} \right \rfloor

A kapcsos zárójel egészrészt jelent. Az n-t egyébként könnyű kézzel kiszámolni. Ha például 1000 Ft-ot akarunk nyerni, és a vagyonunk 50 000 Ft (M = 50000, C = 1000), akkor a feltett tétek vesztés esetén: 1000 + 2000 + 4000 + 8000 + 16\,000 = 31\,000. Itt álljunk is meg, hiszen a hatodik körben 32 000-et kéne feltennünk, ez viszont már összesen 63 000 Ft-ot igényelne, ami meghaladja a keretet, ezért
n =5. Akármilyen meglepő, már öt környi balszerencse elegendő 31 000 Ft elvesztéséhez, hiszen nem tudunk újra duplázni.

Most, hogy megvan, hány peches kör vezet a csődhöz, számoljuk ki, mekkora valószínűséggel fog ez megtörténni, illetve hogy mekkora összeget vesztünk ekkor. Jelöljük p-vel annak a valószínűségét, hogy nyerünk egy körben. Ez még a piros/fekete mezők esetében sem 50%, hiszen a 18-18 piros ill. fekete szám mellett a 0 mindig veszít. Ezért esetünkben

p = \frac{18}{37} \approx 48,65 \%.

Annak a valószínűsége, hogy n körön át veszítünk (L):

L = \left ( 1 - p \right )^n = \left ( \frac{19}{37} \right )^n,

és eddigre az összes elvesztett pénz:

A = C \left ( 2^n - 1 \right ).

Ezen adatok ismeretében ki lehet számolni a nyeremény várható értékét:

E = C \left ( 1 - 2^{n} L \right ) \quad = \quad C \left ( 1 - \left( 2 - 2p \right )^n \right ) \quad = \quad C \left (1 - \left( \frac{38}{37} \right )^n \right ).

Az utolsó formából látszik, hogy mivel 38/37 > 1, a várható érték mindig negatív (esetleg 0) lesz.

Egy példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen M = 750 költőpénzünk, C pedig szerény 20 !

Hány vesztes kör alatt esnénk ki?


n = \left \lfloor \frac{\ln \left ( \frac{750}{20} + 1 \right )}{\ln 2} \right \rfloor = 
\left \lfloor 5,266 \right \rfloor = 5
.

A kiesés valószínűsége és a bukott pénzösszeg:


L = \left ( \frac{19}{37} \right )^5 = 0,0357 = 3,57\% , \qquad
A = 20 \cdot \left ( 2^5 - 1 \right ) = 620
.

A 3,57% azt jelenti, hogy várhatóan minden 28 próbálkozásból egyszer elveszítenénk a 620 -t, a maradék 27 esetben pedig nyernénk 20 -t. \left ( 100/3,57 \approx 28 \right ).

Ezért a nyeremény várható értéke alkalmanként

E = 20 \cdot \left ( 1 - \left( \frac{38}{37} \right )^5 \right ) = -2,85 ,

azaz 2,85 veszteség. Mivel szerencsétlen kimenetel valószínűsége (L) viszonylag nagy, itt a várható veszteség már kevés játék után is érezteti hatását. Leginkább kockázatkedvelő szerencsevadászoknak ajánlható.

Némileg módosul a helyzet, ha mondjuk félmilliós vagyonunk mellett csak 1 -t célzunk meg. Ekkor L lényegesen kisebb (kb. 0,0006%), ezért nagy valószínűséggel sosem fogjuk a 262 ezer eurós veszteséget elszenvedni. Más kérdés, hogy ez az összeg 6%-os kamat mellett többet kamatozna egy bankban, még ha az év minden napján 80 alkalommal játszanánk is (vereség nélkül). Most vizsgáljuk meg a kaszinó nézőpontját: ebben az esetben is várhatóan minden 162 205 próbálkozás során veszíteni fog valaki 262 143 eurót, és ennyi kör talán fél éven belül le is játszódik. Ekkor a kaszinó beszedi a 262 ezer -t, ebből kifizeti a maradék 162 ezer játékos nyereményét, ezen felül pedig marad 100 000 bevétele.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]