Indexszám

Az indexszám vagy egyszerűen index a gazdaságban és a pénzügyi szektorban reprezentatív adatok változásának statisztikai mérését szolgálja. Egyszerűen megfogalmazva az indexszámok statisztikai sort jelentenek, számokat, melyek egy bázisra (100%) vonatkoztatva százalékokban térnek el. Indexszámok tetszőleges forrásból képezhetők (árindex, munkanélküliségi index, gazdasági index, termelékenységi index, részvényindex stb.). A különböző gazdasági indexek a gazdasági élet állapotáról adnak jelzéseket, a pénzügyi (tőzsde) indexek a tőzsdei vállalatok teljesítményének a mérőszámai.

Fajtái

Az egyszerű indexszám egy változó érték relatív változásait írja le.

A kompozit (összetett) indexszám lehetővé teszi, hogy több változó értékéből meghatározott szituációban képezett adathalmazt egy szám segítségével hasonlítsunk valamilyen referenciaszituációhoz. Ilyen például az úgynevezett fogyasztói kosár.

Története

Indexszámot a 18. században kezdtek számolni:

Angliában William Fleetwood 1707-ben tette fel a kérdést, hogy mennyit érhetett 1700-ban az általa igazgatott kollégium alapításakor adományozott 5 font számolásához 4 alapvető termék (búza, hús, sör, és vászon) árát hasonlította össze. Számításai eredményeképpen arra a következtetésre jutott, hogy az alapítók eredeti 5 fontos adománya 1700-ban 30 fontnak felelt meg.

Franciaországban 1738-ban Dutot hasonlította össze XII. és XV. Lajos francia király éves jövedelmét. Fleetwoodhoz hasonlóan alapvető termékek árát hasonlította össze, de az kiegészítette bérjellegű adatokkal például a napszámosok egy napi bérével.

Joseph Lowe-ot tekintik az első „valódi” index megteremtőjének. 1823-ban „Anglia helyzete” (The present state of England) című művében írt le egy olyan képletet, amit a mai napig is használnak. Az indexeléshez a két vizsgált időpont árait és az első dátum időpontjában mért értéket (vásárlói kosarat) $q_{0}$ használta fel képletében.

$P_{L}={\frac {\sum (p_{t}\cdot q_{0})}{\sum (p_{0}\cdot q_{0})}}$.

A 19. században a német statisztikusok, Étienne Laspeyres (1871) és Hermann Paasche (1874) ma is használatos képleteket dolgoztak ki, és elméleti kutatásokat végeztek az indexelés területén.

A 20. században folytatódott az indexelési eljárások elméleti kutatása. Legnagyobb jelentőséggel a finn közgazdász Törnqvist által 1970-es években kidolgozott indexszámítási eljárás bír. Ez, mint mondani szokták kielégíti a common sense requirements-t (a józan ész követelményeit).

Axiomatikus indexelési eljárások

Dutot-index

$P_{D}={\frac {{\frac {1}{n}}\cdot \sum (p_{t})}{{\frac {1}{n}}\cdot \sum (p_{0})}}={\frac {\sum (p_{t})}{\sum (p_{0})}}$

Elemi vagy más néven súlyozatlan árindex. Javak homogén csoportjain mért átlagárak hányadosa a t és 0 időperiódusokban. A Dutot-index a csoportok számtani középértékével számol.

Jevons-index

$P_{J}=\prod \left({\frac {p_{t}}{p_{0}}}\right)^{1/n}$

Elemi vagy más néven súlyozatlan árindex. Javak homogén csoportjain mért átlagárak hányadosa a t és 0 időperiódusokban. A Jevons-index a csoportok mértani középértékével számol.

Laspeyres-index

$P_{L}={\frac {\sum (p_{t}\cdot q_{0})}{\sum (p_{0}\cdot q_{0})}}$.

Bázisidőszaki súlyozású árindex. A jószágok eredeti mennyiségének az árát $q_{0}$ arányosítja az eredeti és az új árral.

Paasche-index

$P_{P}={\frac {\sum (p_{n}\cdot q_{n})}{\sum (p_{0}\cdot q_{n})}}$

Tárgyidőszaki súlyozású volumenindex. A jószágok új mennyiségének az árát $q_{n}$ arányosítja az eredeti és az új árral.

Fisher-index

$P_{F}={\sqrt {P_{P}\cdot P_{L}}}$.

A Irving Fisher "ideális" árindexe a $P_{P}$ and $P_{L}$: mértani közepe, ahol $P_{L}$ a Laspeyres-index és $P_{P}$ a Paasche-index.

Törnqvist-index

${\frac {P_{t}}{P_{t-1}}}=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {p_{it}}{p_{i,t-1}}}\right)^{{\frac {1}{2}}\left[{\frac {p_{i,t-1}q_{i,t-1}}{\sum _{j=1}^{n}\left(p_{j,t-1}q_{j,t-1}\right)}}+{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{\sum _{j=1}^{n}\left(p_{j,t}q_{j,t}\right)}}\right]}$

Mind a két oldal logaritmusát véve kapjuk a következő kényelmesebben számítható logaritmikus formáját a Törnqvist-indexnek:

$ln{\frac {P_{t}}{P_{t-1}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {p_{i,t-1}q_{i,t-1}}{p_{t-1}q_{t-1}}}+{\frac {p_{i,t}q_{i,t}}{p_{t}q_{t}}}\right)ln\left({\frac {p_{i,t}}{p_{i,t-1}}}\right)$

Az index kiszámítására minden termékre a $(t-1,t)$ időszakok i szerint $(i=1,...,n)$ indexelt mennyiségeit és árait használjuk. Az i. termék ára $t-1$ időpontban $p_{i,t-1}$.

A $q_{i,t}$ analóg módon az i. termék t időpontban mért mennyisége.

A Törnqvist-index, két időszak súlyozatlan átlagrészesedéseivel súlyozott mértani átlag. Eredeti formájában a Törnqvist-index szorzatokkal dolgozik, a számítások egyszerűsítése céljából alkalmazzák inkább a logaritmikus formulát. (Matematikailag ez megtehető, mivel a $ln$ függvény szigorúan monoton növekvő függvény.)

Gazdaságossági indexelési eljárások

Konüs-index

Az az árindexek külön csoportját képezik a megélhetési árindexek. A megélhetési árindex egy adott életnívó megtartásához szükséges javak minimális költségeinek a változását méri. Legjelentősebb a Konüs-index.

$C(u^{t},p^{t})\equiv \min _{q}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{t}q_{i}:f(q)=u^{t}\equiv f(q^{t})\right\}$

A $t$ periódus $n$ árura vetített árvektora $p^{t}$. A $C(u,p)$ függvény a fogyasztói költségfüggvény.

$P_{K}(p^{0},p^{1},q)={\frac {C(f(q),p^{1})}{C(f(q),p^{0})}}$

Források

• Csáfor Hajnalka Statisztikai alapfogalmak Archiválva 2015. június 16-i dátummal a Wayback Machine-ben 7-9. oldal
• Lipécz György, Leíró statisztika 4, Index-számítás Archiválva 2014. március 4-i dátummal a Wayback Machine-ben Általános Vállalkozási Főiskola, 2010
• Glossary. Nemzetközi Valutaalap Producer Price Index manual
• Consumer price index manual: Theory and practice, ILO/Nemzetközi Valutaalap/OECD/UNECE/Eurostat/Világbank, 2004, Genf ISBN 92-2-113699-X