Hatványtörvény-eloszlás

A hatványtörvény-eloszlás egy olyan valószínűség-eloszlás, melynek sűrűségfüggvénye (vagy diszkrét esetben a tömegfüggvénye) a következő kifejezés:

$p(x)\propto L(x)x^{-\alpha }$

ahol $\alpha >1$, és $L(x)$ egy lassan változó függvény, mely kielégíti a $\lim _{x\rightarrow \infty }L(t\,x)/L(x)=1$ követelményt, $t$ konstans mellett. $L(x)$-nek ez a tulajdonsága közvetlenül abból ered, hogy $p(x)$ aszimptotikusan skála invariáns, és így az $L(x)$ csak az alakot befolyásolja és véges mértékben az alsó farok részt. Például, ha $L(x)$ egy konstans függvény, akkor van egy hatványtörvény, mely minden $x$re érvényes. Sok esetben kényelmes egy alsó $x_{\mathrm {min} }$ értéket feltételezni, melyre a törvény érvényes. E két esetet kombinálva, és ahol $x$ egy folytonos változó, a hatványtörvény a következő kifejezéssel irható le:

$p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha },$

ahol $x^{-\alpha }$ a normalizáló állandó. Ezután tekinthetünk néhány jellemzőt. A momentum (matematika):

$\langle x^{m}\rangle =\int \limits _{x_{\min }}^{\infty }x^{m}p(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\alpha -1}{\alpha -1-m}}x_{\min }^{m}$

ahol $m<\alpha -1$. Ez azt jelenti, hogy minden momentum $m\geq \alpha -1$ divergál. Ha $\alpha <2$. az átlagos és minden magasabb rendű momentum végtelen; ha $2<\alpha <3$, akkor létezik a középérték, de a szórásnégyzet és a magasabb rendű momentumok végtelenek. Ha véges számú mintát veszünk az eloszlásból, akkor ez a viselkedés maga után vonja, hogy a centrális momentum becslések divergáló momentumokra sosem konvergálnak, mivel egyre több adat kumulálódik, és folytatják a növekedést. Ezt a hatványtörvény-típusú eloszlást Pareto-eloszlásnak is hívják, egy eloszlás Pareto farokkal vagy változó farok méretű eloszlásnak. Egy másik hatványtörvény-eloszlás, mely kielégíti a fenti formulát, a hatványtörvény exponenciális levágással:

$p(x)\propto L(x)x^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}.$

Ebben az eloszlásban az exponenciális hanyatlás felülírja a hatványtörvény viselkedést nagy $x$értékeknél. Ez az eloszlás az alternatívája az aszimptotikus hatványtörvény-típusú eloszlásnak. Például, habár a Gutenberg–Richter-összefüggést szokták a hatványtörvény-eloszlás példájának említeni, a földrengések magnitudóinak eloszlása nem követi a törvényt $x\rightarrow \infty$ esetben, mert a Földhéjben véges mennyiségű energia van, és ezért kell hogy legyen a földrengésnek egy maximum értéke. Amint a skála közelít ehhez az értékhez, csökkenni kezd.

Irodalom

• Solt György: Valószínűségszámítás. (hely nélkül): Műszaki könyvkiadó. 2006.  
• Ketskeméty László: Valószínűségszámítás tömören. (hely nélkül): Aula Kiadó. 2009. ISBN 9789639698215  

Kapcsolódó szócikkek

• Gutenberg–Richter-összefüggés
• http://tuvalu.santafe.edu/~aaronc/powerlaws/ Archiválva 2013. február 10-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Normalizáló állandó.
• Poisson-folyamat
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Pareto-eloszlás