Fresnel-egyenletek

A Fresnel-egyenletek Augustin-Jean Fresnel által a Maxwell-egyenletekből levezetett fénytani egyenletek. Azt fejezik ki, hogy fényvisszaverődésnél, a visszavert és a beérkező fény energiahányada mekkora.

Polarizált eset

Az egyik egyenlet azt az esetet írja le, amikor a fény polarizációja párhuzamos a fényt visszaverő felülettel, a másik eset pedig azt írja le, amikor a polarizáció merőleges a felületre.

$F_\|\!\ (\lambda,\theta^{'})= \left| \frac{\cos \theta^{'}-(v+\kappa j)cos \theta}{\cos \theta^{'} + (v+\kappa j)cos \theta} \right|^2,$      $F_\bot \!\ (\lambda,\theta^{'})= \left| \frac{\cos \theta-(v+\kappa j)cos \theta^{'}}{\cos \theta + (v+\kappa j)cos \theta^{'}} \right|^2$

Mivel a λ hullámhossztól függő törésmutató fémeknél komplex szám, ezért a törésmutató valós részét v, a képzetes részét κ jelöli. A j pedig az imaginárius egység. A θ' a felület normálvektora és a megvilágítási irány szöge, a θ pedig a visszaverődési irány és a felületi normálvektor szöge.

Polarizálatlan eset

A nem poláros fény ábrázolására az egyik szokásos eljárás, hogy a hullám elektromos térerősségvektorát két egymásra merőleges összetevőre bontjuk ( $\vec{E}_\|\!\$ és $\vec{E}_\bot\!\$) majd összegezzük. A két összetevő amplitúdója azonos, átlagos értéke egyenlő egymással, de közöttük rendezetlen és gyorsan változó fázisviszonyok vannak. A továbbiakban az amplitúdókat egységnyinek tekintjük, azaz:

$| \vec{E}_\|\!\ | = |\vec{E}_\bot\!\ | = 1$

Felhasználva a vektorok skaláris szorzásának az abszolútértékre vonatkozó következő azonosságát:

$| \vec{a}^2|=\vec{a}^2= \vec{a} \cdot \vec{a}=|\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos{(0)}= |\vec{a}|^2$

valamint a skaláris szorzás disztributivitása miatt használható binomiális tételt, a következő egyenlethez jutunk:

$F(\lambda,\theta^{'})= \frac{\left| F_\|\!\ (\lambda,\theta^{'}) ^{1/2} \cdot \vec{E}_\|\!\ + F_\bot\!\ (\lambda,\theta^{'}) ^{1/2} \cdot \vec{E}_\bot\!\ \right|^2}{\left| \vec{E}_\|\!\ + \vec{E}_\bot\!\ \right|^2}= \frac{F_\|\!\ (\lambda,\theta^{'}) + F_\bot\!\ (\lambda,\theta^{'}) }{2}$