Formális hatványsor

Ha egy adott gyűrű feletti végtelen sorozatokon ahhoz hasonlóan értelmezünk két, összeadásnak és szorzásnak nevezett műveletet, ahogyan azt a végeredményben véges sorozatokként definiálható polinomok esetében tennénk, akkor jutunk az általánosabb formális hatványsor fogalmához.

Definíció

A formális hatványsorok éppen úgy végtelen összegek, mint a nem formálisak. A műveleteket is ugyanúgy végezzük rajtuk, mint a valódi hatványsorokon. A konvergenciával azonban nem foglalkozunk.

Összeadás:

$f(x)+g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (x-x_0)^n,$

ahol a_n és b_n gyűrűelem.

Skalárral szorzás:

$cf(x) = \sum_{n=0}^\infty (c a_n) (x-x_0)^n ,$

ahol c gyűrűelem.

Szorzás:

$\begin{align} f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n\right)\\ &= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-x_0)^{i+j} = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-x_0)^n \end{align}$

ahol minden együttható gyűrűelem

Ekvivalens definíció

Legyen $R = \left( U, +, \times \right)$ tetszőleges gyűrű, és tekintsük az $R$ feletti $R_{\mathbb{N}} = \left\{ \left( r_{n} \right) ^{n \in \mathbb{N}} \ | \ r \in R \right\}$ végtelen $\left( r_{n} \right) _{n \in \mathbb{N}} = \left( r_{0} , r_{1} , r_{2} , r_{3} , .... \right)$ sorozatok halmazát (megjegyzés, $K^{D}$ -vel a D halmazból a K halmazba képező függvények halmazát jelöljük általában is).

Értelmezünk ezek között, tehát $R_{\mathbb{N}}$ felett két kétváltozós $\oplus$ és $\otimes$ műveletet a következőképp:

• $\oplus : R^{\mathbb{N}} \times R^{\mathbb{N}} \mapsto R^{\mathbb{N}} ; (r_{i})_{i \in \mathbb{N}} \oplus (s_{i})_{i \in \mathbb{N}} = (r_{i}+s_{i})_{i \in \mathbb{N}}$ ; ez tehát egyszerűen két végtelen hosszú vektor koordinátánkénti összegzése (+ az R gyűrűbeli összeadás);
• A szorzás azonban nem koordinátánkénti szorzás, hanem: $\otimes : R^{\mathbb{N}} \times R^{\mathbb{N}} \mapsto R^{\mathbb{N}} ; (r_{i})_{i \in \mathbb{N}} \otimes (s_{i})_{i \in \mathbb{N}} = ( \sum_{j=0}^{i} r_{j}s_{i-j} )_{i \in \mathbb{N}}$ .

Belátható, hogy ezek a műveletek éppen a fenti műveletzeknek felelnek meg.

A $K[[x]] := \left( R^{\mathbb{N}} , \oplus , \otimes \right)$ algebrai struktúra szintén gyűrű. Ezt nevezzük az $R$ feletti formális hatványsorok gyűrűjének.

Polinomok

A polinomok véges összegként definiálhatók. A hatványsorok közül éppen azok polinomok, amelyekben csak véges sok együttható nem nulla. A legnagyobb indexű nem nulla együttható indexe a polinom foka. A nullpolinom fokát nem definiáljuk.

Ha egy $\left( s_{i} \right) \in R^{\mathbb{N}}$ sorozatnak van olyan indexe (ti. olyan indexű tagja), melytől kezdve nulla (az összes nála nagyobb indexú tagja nulla), akkor az ilyen indexet (gyenge v. tágabb értelemben vett) eltűnési indexnek nevezünk. A sorozat eltűnési indexeinek halmazát $E \left( \left( s_{i} \right) \right) = \left\{ j \in \mathbb{N} \ | \forall k \in \mathbb{N} : j \le k \Rightarrow s_{k} =0 \right\} \subseteq \mathbb{N}$ -vel jelöljük (definiálható a szigorú eltűnési index is, ha ≤ helyett <-t írunk a definícióban). Nincs minden sorozatnak eltűnési indexe; azaz e halmaz üres is lehet bizonyos sorozatokra; ha azonban nem üres, akkor a sorozatot polinomnak nevezzük.

Pontosan egyetlen olyan sorozat van, melynek minden indexe eltűnési index, mégpedig az a sorozat, melynek minden tagja 0. E sorozat a nullpolinom.

Tulajdonságok

• A véges testek fölötti egy határozatlanú formális hatványsorok gyűrűt alkotnak, aminek részgyűrűje a polinomgyűrű
• Gyűrű feletti polinomgyűrű, és az ugyanazon gyűrű fölött vett formális hatványsorok gyűrűje egyszerre kommutatív, egységelemes vagy nullosztómentes, ha az alapgyűrű is az
• Ha s egy egységelemes gyűrű fölötti hatványsor, és $k \in \N _0$, akkor $(x^k\mathbf s)_i=0$, ha i > k, és $(x^k\mathbf s)_i= \mathbf s_{i-k}$, ha $k \leq i \in \N _0$
• Az egy határozatlanú formális hatványsorok gyűrűje egyben modulus is az alapgyűrű fölött. Ez a modulus pontosan akkor unitér, ha az alapgyűrű egységelemes. Pontosan akkor vektortér, ha az alapgyűrű ferdetest, és pontosan akkor algebra, ha az alapgyűrű test. Ekkor rangja végtelen. Hasonlóak érvényesek a polinomgyűrűre is
• Hatványsor akkor és csak akkor egység, ha konstans tagja egység az alapgyűrűben. Speciálisan, ferdetest feletti formális hatványsor pontosan akkor egység, ha konstans tagja nem nulla
• Hatványsor akkor és csak akkor felbonthatatlan, ha konstans tagja az alapgyűrűben felbonthatatlan
• Ha az alapgyűrű test, akkor a formális hatványsorok gyűrűje euklideszi
• Test feletti hatványsorok gyűrűjének elemei $x^u \mathbf s$ alakúak, ahol u egész. Ez a test az alaptest fölötti Laurent-sorok testje

Forrás

Gonda János: Véges testek [compalg.inf.elte.hu/material/DOWNLOAD/vt.pdf]