Formális hatványsor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Ha egy adott gyűrű feletti végtelen sorozatokon ahhoz hasonlóan értelmezünk két, összeadásnak és szorzásnak nevezett műveletet, ahogyan azt a végeredményben véges sorozatokként definiálható polinomok esetében tennénk, akkor jutunk az általánosabb formális hatványsor fogalmához.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A formális hatványsorok éppen úgy végtelen összegek, mint a nem formálisak. A műveleteket is ugyanúgy végezzük rajtuk, mint a valódi hatványsorokon. A konvergenciával azonban nem foglalkozunk.

Összeadás:

f(x)+g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (x-x_0)^n,
ahol an és bn gyűrűelem.

Skalárral szorzás:

cf(x) = \sum_{n=0}^\infty (c a_n) (x-x_0)^n ,
ahol c gyűrűelem.

Szorzás:

\begin{align}
f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n\right)\\
&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-x_0)^{i+j}
 = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-x_0)^n
\end{align}
ahol minden együttható gyűrűelem

Ekvivalens definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen R = \left( U, +, \times \right) tetszőleges gyűrű, és tekintsük az R feletti R_{\mathbb{N}} = \left\{ \left( r_{n} \right) ^{n \in \mathbb{N}} \ | \ r \in R \right\} végtelen \left( r_{n} \right) _{n \in \mathbb{N}} = \left( r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}, .... \right) sorozatok halmazát (megjegyzés, K^{D}-vel a D halmazból a K halmazba képező függvények halmazát jelöljük általában is).

Értelmezünk ezek között, tehát R_{\mathbb{N}} felett két kétváltozós \oplus és \otimes műveletet a következőképpen:

  • \oplus : R^{\mathbb{N}} \times R^{\mathbb{N}} \mapsto R^{\mathbb{N}} ; (r_{i})_{i \in \mathbb{N}} \oplus (s_{i})_{i \in \mathbb{N}} = (r_{i}+s_{i})_{i \in \mathbb{N}} ; ez tehát egyszerűen két végtelen hosszú vektor koordinátánkénti összegzése (+ az R gyűrűbeli összeadás);
  • A szorzás azonban nem koordinátánkénti szorzás, hanem: \otimes : R^{\mathbb{N}} \times R^{\mathbb{N}} \mapsto R^{\mathbb{N}} ; (r_{i})_{i \in \mathbb{N}} \otimes (s_{i})_{i \in \mathbb{N}} = ( \sum_{j=0}^{i} r_{j}s_{i-j} )_{i \in \mathbb{N}}.

Belátható, hogy ezek a műveletek éppen a fenti műveleteknek felelnek meg.

A K[[x]] := \left( R^{\mathbb{N}} , \oplus , \otimes \right) algebrai struktúra szintén gyűrű. Ezt nevezzük az R feletti formális hatványsorok gyűrűjének.

Polinomok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A polinomok véges összegként definiálhatók. A hatványsorok közül éppen azok polinomok, amelyekben csak véges sok együttható nem nulla. A legnagyobb indexű nem nulla együttható indexe a polinom foka. A nullpolinom fokát nem definiáljuk.

Ha egy \left( s_{i} \right) \in R^{\mathbb{N}} sorozatnak van olyan indexe (ti. olyan indexű tagja), melytől kezdve nulla (az összes nála nagyobb indexű tagja nulla), akkor az ilyen indexet (gyenge v. tágabb értelemben vett) eltűnési indexnek nevezünk. A sorozat eltűnési indexeinek halmazát E \left( \left( s_{i} \right) \right) = \left\{ j \in \mathbb{N} \ | \forall k \in \mathbb{N} : j \le k \Rightarrow s_{k} =0 \right\} \subseteq \mathbb{N}-vel jelöljük (definiálható a szigorú eltűnési index is, ha ≤ helyett <-t írunk a definícióban). Nincs minden sorozatnak eltűnési indexe; azaz e halmaz üres is lehet bizonyos sorozatokra; ha azonban nem üres, akkor a sorozatot polinomnak nevezzük.

Pontosan egyetlen olyan sorozat van, melynek minden indexe eltűnési index, mégpedig az a sorozat, melynek minden tagja 0. E sorozat a nullpolinom.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A véges testek fölötti egy határozatlanú formális hatványsorok gyűrűt alkotnak, aminek részgyűrűje a polinomgyűrű
  • Gyűrű feletti polinomgyűrű, és az ugyanazon gyűrű fölött vett formális hatványsorok gyűrűje egyszerre kommutatív, egységelemes vagy nullosztómentes, ha az alapgyűrű is az
  • Ha s egy egységelemes gyűrű fölötti hatványsor, és k \in \N _0, akkor (x^k\mathbf s)_i=0, ha i > k, és (x^k\mathbf s)_i= \mathbf s_{i-k}, ha k \leq i \in \N _0
  • Az egy határozatlanú formális hatványsorok gyűrűje egyben modulus is az alapgyűrű fölött. Ez a modulus pontosan akkor unitér, ha az alapgyűrű egységelemes. Pontosan akkor vektortér, ha az alapgyűrű ferdetest, és pontosan akkor algebra, ha az alapgyűrű test. Ekkor rangja végtelen. Hasonlóak érvényesek a polinomgyűrűre is
  • Hatványsor akkor és csak akkor egység, ha konstans tagja egység az alapgyűrűben. Speciálisan, ferdetest feletti formális hatványsor pontosan akkor egység, ha konstans tagja nem nulla
  • Hatványsor akkor és csak akkor felbonthatatlan, ha konstans tagja az alapgyűrűben felbonthatatlan
  • Ha az alapgyűrű test, akkor a formális hatványsorok gyűrűje euklideszi
  • Test feletti hatványsorok gyűrűjének elemei x^u \mathbf s alakúak, ahol u egész. Ez a test az alaptest fölötti Laurent-sorok testje

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Gonda János: Véges testek [compalg.inf.elte.hu/material/DOWNLOAD/vt.pdf]