Forgástest

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Forgástest felszíne
Forgástest térfogata

Forgástest olyan geometriai test, mely egy síkidom síkjában fekvő, azt nem metsző egyenes, mint tengely körüli megforgatásából származtatható. A forgástest az a test, melyet a síkidom forgatása közben súrolt felület és az alapkörlap, valamint a fedőkörlap határol.

Szigorúbb definíció szerint forgástestek a hengerszimmetrikus testek. Forgásszimmetrikusnak az olyan alakzatot nevezik, melynél van olyan elforgatás, mely az alakzatot önmagába viszi át. A teljes forgásszimmetria esetén az alakzat helyzetét a forgástengely körül végrehajtott semmilyen elforgatás nem változtatja meg. Ezt térbeli alakzatnál hengerszimmetrikus alakzatnak nevezik. A hengerszimmetrikus testek a forgástestek.

A számítógéppel segített tervezőrendszerek (CAD) forgástestnek nevezik azokat a geometriai testeket is, melyeket egy síkidom tetszőleges szöggel való, tehát nem teljes megforgatásakor súrol. Ezek a szigorúbb definíció szerint nem forgástestek.

A forgástest olyan síkmetszetét, mely tartalmazza a szimmetriatengelyt, meridiánmetszetnek nevezik.

A forgástest térfogata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen a meridiángörbe egy f(x) folytonos, nem negatív függvény az a≤x≤b tartományban. Ha a forgástengely az x tengely, akkor a keletkező forgástest térfogata:

V = \pi \int \limits_{a}^{b}f^2(x) dx

A forgástest felszíne[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az f(x): [a;b] \subset R \rightarrow R; x \mapsto f(x) , az [a;b]-n folytonos függvény esetén a

F= 2 \pi \int \limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2} dx \,

integrál adja az f(x) függvény x tengely körüli elforgatásával kapott forgástest palástjának területét. (Így a forgásfelület felszínét is meghatározhatjuk tehát.)

A Pappus–Guldin-tételek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A forgástestek térfogatát és felszínét a Pappus–Guldin-tételek segítségével a következőképpen lehet kiszámolni: Ezek szerint a felszín egyenlő a származtató síkidom s kerületének és annak C súlypontja rs.2π útjának a szorzatával:

F = s\cdot r_s\cdot 2 \pi

A forgástest térfogata pedig egyenlő a származtató síkidom (meridiánmetszet) A területének és a meridiánmetszet CA súlypontja Rs.2π útjának szorzatával:

V = A\cdot R_s\cdot 2 \pi

Példák forgástestekre:

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hajós György: Bevezetés a geometriába Kilencedik kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. ISBN 963 18 31736
  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091