Fél nagytengely

A fél nagytengely egy ellipszisben.

A fél nagytengely geometriai fogalom, amely ellipszisek és hiperbolák méretét jelöli.

Ellipszis

A nagytengely az ellipszis legnagyobb átmérője, amely az ellipszis két csúcsa között áthalad a középponton és mindkét fókuszponton. A fél nagytengely ennek a fele; a középpontból indul az egyik fókuszponton át a csúcsig. Speciálisan, ha az ellipszis kör, akkor a fél nagytengely, és a fél kistengely is megegyezik a kör sugarával. Megfordítva, az ellipszis fél nagytengelyére gondolhatunk úgy, mint az ellipszis legnagyobb sugarára.

A fél nagytengely közvetlen kapcsolatban áll az ellipszis excentricitásával és a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húrral. A következő képletekben az excentricitás e, a fél kistengely b, és a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr fele ℓ:

$b=a{\sqrt {1-e^{2}}},\,$

$\ell =a(1-e^{2}),\,$

$a\ell =b^{2}.\,$

A fél nagytengely hossza éppen az ellipszis egy pontja és az egyik fókuszpont távolságának középértéke.

Helyezzük el az ellipszist úgy, hogy az egyik fókuszpontja az origóban, a másik az x tengelyen legyen! Polárkoordinátákban tekintve az ellipszis egyenletét:

$r(1-e\cos \theta )=\ell .\,$

Az $r={\ell \over {1+e}}\,\!$ és az $r={\ell \over {1-e}}\,\!$ középértéke: $a={\ell \over 1-e^{2}}.\,$

Hiperbola

A hiperbola fél nagytengelye a hiperbola két ágának távolságának fele. Szokták ennek még a mínusz egyszeresét venni, a konvencióktól függően. A következő egyenletekben a hiperbola fél nagytengelyét a, a fél kistengelyét b, és a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr felét ℓ. Ekkor:

${\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.$

és

$a={\ell \over e^{2}-1}.$

A hiperbola transzverzális tengelyének iránya megegyezik a nagytengely irányával.

Parabola

Egy parabola tekinthető egy ellipszisekből álló sorozat határértékének, ahol is az egyik fókusz rögzített, míg a másik mindennél messzebb kerül. Eközben a fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr változatlan. Ekkor mindkét tengely hossza a végtelenbe tart; a nagytengely valamivel gyorsabban nő, mint a kistengely.

Csillagászat

Keringési idő

A csillagászatban a fél nagytengely az égitestek ellipszis alakú pályáinak meghatározó eleme.

A keringő égitestek T keringési ideje

$T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over \mu }}$

ahol a a pálya fél nagytengelye, és μ az alap gravitációs paraméter. Tehát a keringési idő független az excentricitástól.

A Naprendszerben a fél nagytengely és a keringési idő közötti összefüggés követi a harmadik Kepler-törvényt:

$T^{2}\propto a^{3}\,$

ahol T-t években, a-t csillagászati egységben mérik. Ez a képlet a kéttest-probléma egyszerűsített leírása. A Newton által meghatározott alak:

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}\,$

ahol G a gravitációs állandó, M a középponti, és m a keringő test tömege. Tipikusan M nagyságrendekkel nagyobb, mint m, ezért m elhanyagolható.

Átlagos távolság

Gyakran mondják, hogy a fél nagytengely a keringő és a középponti test átlagos távolsága. Ez azonban nem pontos, mert a különféle paraméterezések más és más középértéket adnak:

• A középponttól mért szög alapján vett középérték a fél nagytengelyt adja
• A fókusztól mért szög alapján véve a középértéket a fél kistengelyt kapjuk: $b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!$
• Az eltelt idő és a keringési idő hányadosával számolva

$a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right).\,$

• Az ellipszissel azonos területű kör sugara a mértani középpel számítható:

${\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}.\,$

Energia

Az a fél nagytengely kiszámítható a következőképpen:

$a={-\mu \over {2\varepsilon }}\,$

elliptikus, és ez vagy ellentettje hiperbolikus pálya esetén,

ahol $\varepsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}$ a specifikus orbitális energia, és $\mu =G(M+m)\,$ a gravitációs együttható.

Továbbá:

• v a keringő égitest kerületi sebessége
• r a keringő égitest helyvektora
• G a gravitációs állandó
• M és m a két test tömege.

Adott össztömeg és összenergia esetén a nagytengely azonos marad, tekintet nélkül az excentricitásra és a két test tömegének arányára. Megfordítva, adott össztömeg és adott nagytengely esetén az összenergia mindig ugyanaz marad.

Jelölése

• Semi major axis: a.

Források

• Ellipszis kis- és nagytengelye

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Semi-major axis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.