Euklideszi tér (lineáris algebra)
![]() |
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. (2007 júniusából) |
Euklideszi térnek[1] nevezzük azon T számtest, vagy integritási tartomány feletti vektortereket, melyekben a vektorterek axiómáin felül értelmezve van, egy ún. skaláris szorzat (euklideszi norma).
Euklideszi tér axiómái
- A skaláris szorzat a V-beli rendezett párokhoz egy, T-beli elemet rendelő függvény, vagyis
- A skaláris szorzat részben kommutatív, vagyis
- ,
- ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelöli. (Természetesen a valós esetben kommutatív).
- A skalárszoros (skalár az alkotó testből, vagy int. tart.-ból) „elölről” kiemelhető, vagyis:
- Összeg elölről „szétszedhető”, vagyis:
Tételek
Több kérdés is felmerülhet a definíciókkal kapcsolatban, először is az, hogy miért kellett a konjugálást bevezetni, elvetve így a kommutativitást, valamint, hogy miért pont hátulról kiemelhetők a tagok, és mi a helyzet az elöl lévő skalárszorzóval, és összeggel? Utóbbi két kérdést két egyszerű tétellel azonnal meg lehet válaszolni:
TÉTEL:
Bizonyítás: Egyszerűen az axiómákból, csak „hátulra kell varázsolni a skalárszorost” a részleges kommutativitást kihasználva, így jön be a képbe a konjugált, formálisan:
(2. axióma) (3. axióma) (komplex konjugálás szorzattartó)
(2. axióma) QED
TÉTEL:
Bizonyítás: Teljesen hasonlóan az előzőhöz, vegyük észre, hogy ha felcseréljük a tagokat (természetesen konjugálással együtt), akkor a 4. axiómát alkalmazva kapjuk a kívánt képletet. QED
Az euklideszi norma
Minden euklideszi térben bevezethető valamilyen, „hosszúságszerű” fogalom. Ezt fogjuk euklideszi normának hívni, definíciója a következő:
Az euklideszi norma egy, V-ből T-be képező, nemnegatív értékeket felvevő függvény, amelyre (jelöléssel együtt):
:=
Hajlásszög euklideszi terekben
A norma és skalárszorzat segítségével már definiálható két vektor hajlásszöge, melyen síkvektoroknál a nemnagyobb szöget értettük. A hajlásszög, csakúgy mint középiskolában azon érték lesz, melyet a cos függvény a helyen felvesz, vagyis ennek az arkusz koszinusza.
A definíció jogosságához be kéne látni, hogy ez az érték mindig a [-1;1] intervallumba esik, de ez azonnal következik a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenségből. (Vagyis a számláló mindig kisebb vagy egyenlő abszolút értékben mint a nevező.)
A hajlásszög definíciójával már definiálni lehet az egymásra ortogonális, merőleges vektorokat is.
Ortogonális, ortonormált bázis
Két vektort egymásra merőlegesnek, ortogonálisnak mondunk, ha skaláris szorzatuk 0. Könnyen meggondolható, hogy a szokásos sík-, és térvektorok esetén ez pont akkor teljesül, ha egymással bezárt szögük , vagyis a „derékszög”, hiszen ennek a koszinusza 0, így a skaláris szorzat is 0 lesz.
A következő tételhez még egy definíció kell, a normált vektoré.
Egy vektort normáltnak mondunk, ha normája az alkotó számtest (szorzás szerinti) egységeleme.
Gram-Schmidt-féle ortogonalizáció Minden euklideszi térben létezik ortonormált bázis, vagyis olyan bázis, melynek minden vektora páronként merőleges, normájuk pedig az egységelem.
Jegyzetek
- ↑ A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi tér, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).
Források
Dr. Szalay Mihály, Lineáris algebra előadás, ELTE-TTK/IK, (az elméleti háttér)