Ekvipartíció-elmélet

Az ekvipartíció elmélet a klasszikus statisztikus mechanika egyik általános tétele, mely egy rendszer hőmérséklete és általános energiája között teremt összefüggést.

Az ekvipartíció-elmélet más neveken is ismert, mint ekvipartició-törvény, az energia ekvipartíciója vagy csak ekvipartíció.

Az ekvipartíció eredeti gondolata az volt, hogy termikus egyensúlyban az energia egyenletesen oszlik el különböző formában. Például, a szabadságfokonkénti kinetikus energiának, a molekula haladó mozgásakor egyenlőnek kell lennie a forgó mozgásban lévővel.

Az ekvipartíció-elmélet lehetővé tesz számszerű megállapításokat is. A viriális elmélethez hasonlóan megadja egy rendszer teljes átlagos kinetikus és potenciális energiáját, melyből a rendszer hőkapacitása kiszámolható.

Az ekvipartíció megadja az energia egyedi alkotórészeinek átlagos értékét, mint például egy rúgó potenciális energiáját, vagy egy bizonyos részecske kinetikus energiáját.

Például megjósolja , hogy egy egyatomos ideális gáz minden molekulájának az átlagos kinetikus energiája termikus egyensúlyban (3/2)k_BT, ahol k_B a Boltzmann állandó, és T a termodinamikus hőmérséklet.

Még általánosabban: az ekvipartíció bármely klasszikus rendszerre alkalmazható, mely termikus egyensúlyban van, bármilyen komplex is az.

Az ekvipartíció-elméletből levezethető az ideális gázok törvénye és a Dulong–Petit-törvény, mely szilárdtestek specifikus hőkapacitásával foglalkozik. Használható csillagok tulajdonságainak jóslására is, mivel érvényes még relativisztikus hatások mellett is.

Az ekvipartíció-elmélet bizonyos feltételek mellett pontos információkat ad, de pontatlan, amikor a kvantummechanika hatása érvényesül, mint például alacsony hőmérsékleteken.

Amikor a k_BT termikus energia kisebb egy partikuláris szabadságfokon lévő kvantumenergiánál, az átlagos energia és a hőkapacitás kisebb lesz, mint azt az ekvipartíció elmélete jósolná. Például egy alacsony hőmérsékletre süllyedő szilárdtest hőkapacitása, mint egyes mozgási formák is, „megfagy”, és nem marad állandó, mint azt az ekvipartíció jósolná.

A hőkapacitásnál tapasztalt anomália volt az egyik jel a XIX. századi fizikusnak, hogy a klasszikus fizika nem teljesen helytálló és új tudományos modellre van szükség.

Más bizonyítékokkal együtt az ekvipartíció hibája a feketetest-sugárzás számításával kapcsolatban –mely az ultraibolya katasztrófa néven ismert – vezethette Max Planckot arra, hogy az energia kvantált, aminek eredményeként kialakult a kvantummechanika. Más adatok nem erősítik meg, hogy Max Planckot az ekvipartíció hibája inspirálta volna a kvantumelmélet felfedezésére, hanem inkább az oszcillátorok viselkedésének vizsgálata során jött rá az energia kvantáltságára.

Az alapgondolat és példák

Az „ekvipartíció” egyenlő részekre való bontást jelent a latin 'equi' és a 'partitionem' szavakból eredően.

Az ekvipartíció eredeti koncepciója az volt, ha egy rendszer elérte a termikus egyensúly állapotát, akkor a rendszer teljes kinetikus energiája átlagosan egyenlő részekből áll. Az ekvipartíció számszerű jóslatokat is lehetővé tesz ezekre az energiákra. Az egyatomos gázok pontszerű részecskéi energiájukat haladási mozgási energia formájában hordozzák.

Például egy nemesgáz minden atomjának - T hőmérsékleten, termikus egyensúlyi állapotban - átlagos mozgási energiája (3/2)k_BT, ahol k_B a Boltzmann állandó. Ebből következően, mivel m tömeggel rendelkező, egyenes vonalban, egyenletes sebességgel mozgó test haladási kinetikus energiája $E_t = \frac{1}{2} mv_{TKP}^2$ (ahol: E_t a haladási kinetikus energia, m a test tömege, v_TKP a test tömeg-középpontjának sebessége) a xenon nehezebb atomjainak átlagos sebessége kisebb, mint a hélium gáz könnyebb atomjai sebessége ugyanazon a hőmérsékleten.

Nemesgázok sebessége a Maxwell-Boltzmann eloszlás szerint

Az ábra négy nemesgáz atomjainak sebességét mutatja a Maxwell–Boltzmann eloszlás szerint. Az indexben az elemek tömege látható.

Az ekvipartíció tétele azt mondja ki, hogy minden szabadságfokhoz (sebesség-jellemzőhőz), átlagosan egy molekulára ¹⁄₂k_B mozgási energia tartozik, ezért ¹⁄₂k_B részben járul a rendszer hőkapacitásához. A xenon nehezebb atomjainak átlagos sebessége kisebb, mint a hélium gáz könnyebb atomjai sebessége ugyanazon a hőmérsékleten.

Az elmélet korlátai

Az ekvipartíció elmélet nem működik, amikor a termikus energia k_BT jelentősen kisebb, mint az energiaszintek közötti tér. Hibás volt az a feltételezés, hogy az energiaszintek folytonos közeget alkotnak. Ezért nem is lehetett megmagyarázni a hőkapacitások viselkedését és a feketetest-sugárzást; szükség volt egy új elméletre, a kvantummechanika és a kvantumtérelméletre.

Az ábrán logaritmikus osztásban egy kvantummechanikai oszcillátor átlagos energiája látható a hőmérséklet függvényében. Összehasonlításképpen fekete színnel az ekvipartíció által jósolt értékek láthatók. Magas hőmérsékleten a két görbe hasonló értéket mutat, alacsony hőmérsékleteken, amikor k_BT << hν, a kvantummechanikai érték jóval gyorsabban csökken. Ez megoldja az ultraibolya katasztrófa problémáját. Egy adott hőmérsékleten nagyfrekvenciás módusban, ahol hν >> k_BT, az energia majdnem zéró.

Az ekvipartíció elmélet hibáját illusztrálandó, tekintsünk egy harmonikus oszcillátort. Elhagyva az irreleváns zéro-pont energia kifejezést, a kvantum energia szintje E_n = nhν , ahol h a Planck-állandó, ν az oszcillátor alapfrekvenciája és n egész szám (n = 1, 2, 3...). Egy adott energiaszint valószínűsége a kanonikus valószínűség-eloszlásban a Boltzmann-tényezővel kifejezve:

$P(E_{n}) = \frac{e^{-n\beta h\nu}}{Z},$

ahol β = 1/k_BT és a Z nevező a partíciófüggvény, itt egy mértani sorban:

$Z = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n\beta h\nu} = \frac{1}{1 - e^{-\beta h\nu}}.$

általános energiája:

$\langle H \rangle = \sum_{n=0}^{\infty} E_{n} P(E_{n}) = \frac{1}{Z} \sum_{n=0}^{\infty} nh\nu \ e^{-n\beta h\nu} = -\frac{1}{Z} \frac{\partial Z}{\partial \beta} = -\frac{\partial \log Z}{\partial \beta}.$

Z-t behelyettesítve adódik a végső eredmény:

$\langle H \rangle = h\nu \frac{e^{-\beta h\nu}}{1 - e^{-\beta h\nu}}.$

Magas hőmérsékleteken, amikor a termikus energia k_BT jóval nagyobb, mint a hν érték az energia szintek között, a βhν exponenciális argumentum jóval kisebb, mint egy, és az átlagos energia k_BT lesz, az ekvipartíció elméletnek megfelelően. Azonban alacsony hőmérsékleteken, amikor hν >> k_BT, az átlagos energia zéróhoz tart – a magas frekvenciás energiaszintek „kifagynak”.

Egy másik példa: egy hidrogénatom belsőleg gerjesztett elektronikus állapotai nem tudnak hozzájárulni a gáz hőjéhez, mert a termikus energia k_BT (közel 0,025 eV) jóval kisebb, mint az alacsonyabb és a következő magasabb energia szint (kb. 10 eV) közötti rés.

Hasonló meggondolások érvényesek, amikor az energiaszint közti rés jóval nagyobb, mint a termikus energia.

Például Albert Einstein ezzel magyarázta, illetve oldotta meg a ultraibolya katasztrófa problémáját..

A paradoxon azért jöhetett létre, mert egy zárt konténerben az elektromágneses térnek végtelen sok független módusa van, mindegyik egy harmonikus oszcillátornak tekinthető. Ha viszont minden elektromágneses módus átlagos energiája k_BT, akkor végtelen nagy energiának kell lennie a konténerben.. Azonban a fenti érvelés okán a nagyfrekvenciás módusok átlagos energiája tart a zérushoz, amikor ν tart a végtelenbe; ezen felül Planck törvénye a feketetest sugárzásról hasonló érvelést használ. Más, bonyolult kvantumhatások is az ekvipartíció elméletének korrekciójához vezetnek, mint a kvantumelmélet azonos részecskék és a folytonos szimmetria elméletei.

Irodalom

• Huang, K. Statistical Mechanics, 2nd, John Wiley and Sons, 136–138. o (1987). ISBN 0-471-81518-7 
• Landau, LD, Lifshitz EM. Statistical Physics, Part 1, 3rd, Pergamon Press, 129–132. o (1980). ISBN 0-08-023039-3 
• Mohling, F. Statistical Mechanics: Methods and Applications. John Wiley and Sons, 137–139, 270–273, 280, 285–292. o (1982). ISBN 0-470-27340-2 
• Pathria, RK. Statistical Mechanics. Pergamon Press, 43–48, 73–74. o (1972). ISBN 0-08-016747-0 
• Pauli, W. Pauli Lectures on Physics: Volume 4. Statistical Mechanics. MIT Press, 27–40. o (1973). ISBN 0-262-16049-8 
• Tolman, RC. Statistical Mechanics, with Applications to Physics and Chemistry. Chemical Catalog Company, 72–81. o (1927)  ASIN B00085D6OO
• Tolman, RC. The Principles of Statistical Mechanics. New York: Dover Publications, 93–98. o (1938). ISBN 0-486-63896-0 

• Marx György. Kvantummechanika. Műszaki Kiadó (1957) 
• Sailer Kornél. Bevezetés a kvantummechanikába. egytemi jegyzet 
• Landau-Lifsic. Elméleti fizika III:Kvantummechanika. Tankönyvkiadó. ISBN 963-17-3259-2 (1978) 
• Callen, Herbert B.. Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (2nd ed.). Wiley. ISBN 0-471-86256-8 (1985) 
• Kroemer, Herbert; Kittel, Charles. Thermal Physics (2nd ed.). W. H. Freeman Company. ISBN 0-716-71088-9 (1980) 

Kapcsolodó információk

• http://www.szgti.bmf.hu/fizika/feketetest/
• ttp://lexikon.fazekas.hu/227
• http://sdt.sulinet.hu/Player/Default.aspx?g=5dc5b33f-9517-4d32-9d40-388d4b8c4275&cid=277d557d-03c6-4fb7-b2b2-6c5d3e5ac909