Einstein-egyenletek

A Riemann-geometriában a tér metrikáját a metrikus tenzor ($g_{\mu \nu }$) határozza meg. Az általános relativitáselméletben a tömeg térbeli eloszlása határozza meg a metrikus tenzort. Az ezen összefüggést leíró tenzoregyenletet (ami 10 független skalár egyenletet jelent) hívjuk Einstein-egyenleteknek.

Matematikai alak

Az Einstein-egyenletek matematikai alakja a következő:

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}T_{\mu \nu }$

ahol $G_{\mu \nu }$ az Einstein-tenzor, $\Lambda \,$ a kozmológiai állandó (amit élete legnagyobb tévedésének nevezett), $G\,$ a gravitációs állandó, $c\,$ a fénysebesség, $T_{\mu \nu }$ pedig az energia-impulzus tenzor.

Ezt először Albert Einstein közölte 1915-ben. Az Einstein-tenzor kifejezhető a Riemann-féle görbületi tenzor nyomával, a Ricci-tenzorral a következő alakú (ezt 1915 végén Einsteintől függetlenül David Hilbert is levezette):

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }$

Tehát az Einstein-egyenletek teljes alakja:

$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

Fizikai vonatkozások

A fenti tenzoregyenlet négy dimenzióban (3 tér- és 1 időváltozó esetén) 16 skaláregyenletet jelent. Az Einstein-egyenletek szimmetriája miatt ezek közül csak 10 független. Ez a 10 független egyenlet egy nemlineáris parciális differenciálegyenlet-rendszert alkot, melynek megoldása szolgáltatja a gravitáció modern fizikáját.

Közelítések

Anyagmentes eset

Vákuum esetén (tehát ha nincs anyag a téridőben) az Einstein-egyenletek jobb oldala zérus. Ekkor tehát

$R_{\mu \nu }={1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }\,.$

Ezt $g^{\mu \nu }$-vel összeejtve

$R={1 \over 2}R\,4=2R\,$

adódik, ahonnan

$R=0\,$

következik. Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe a következőt kapjuk

$R_{\mu \nu }=0\,.$

Ezek az általános relativitáselmélet üres-tér egyenletei. Ezen egyenletek megoldásai szolgáltatják az összes vákuum-megoldásokat. Például a Schwarzschild vagy a Kerr megoldásokat.

Irodalom

• Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976, ISBN 963 17 7951 3
• Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 963-05-8423-9