A De Moivre-képlet, amely Abraham de Moivre francia matematikusról kapta a nevét, azt mondja ki, hogy minden xkomplex szám (sajátos esetben minden valós szám) és minden negész szám esetén fennáll a
Kifejtve a bal oldali kifejezést és összehasonlítva a valós és imaginárius részeket, levezethető cos(nx) illetve sin(nx) cos(x) és sin(x) függvényében. Ezen kívül, a képlet segítségével meg lehet határozni az n-edrendű egységgyököket, vagyis azokat a z komplex számokat, amelyekre zn = 1.
Ha n > 0, teljes indukciót használunk. Ha n = 1, az eredményt nyilvánvalóan igaz. Tételezzük fel tehát, hogy az eredmény igaz egy tetszőleges k egész szám esetén. Vagyis azt feltételezzük, hogy
Akkor n = k + 1 esetén:
Vagyis bebizonyítottuk azt, hogy amennyiben a képlet igaz k -ra, akkor igaz n = k + 1 -re is. A teljes indukció elve alapján következik, hogy az eredmény igaz lesz minden n≥1 pozitív egész szám esetében.
Ha n = 0 a képlet igaz, mivel , és .
Ha n < 0, vegyük azt az m pozitív egész számot, amelyre n = ‒m. Akkor