De Moivre-képlet

A harmadrendű egységgyökök ábrázolása

A De Moivre-képlet, amely Abraham de Moivre francia matematikusról kapta a nevét, azt mondja ki, hogy minden x komplex szám (sajátos esetben minden valós szám) és minden n egész szám esetén fennáll a

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\,$

egyenlőség.

A képlet azért fontos, mert összeköti a komplex számokat a trigonometrikus függvényekkel.

Kifejtve a bal oldali kifejezést és összehasonlítva a valós és imaginárius részeket, levezethető cos(nx) illetve sin(nx) cos(x) és sin(x) függvényében. Ezen kívül, a képlet segítségével meg lehet határozni az n-edrendű egységgyököket, vagyis azokat a z komplex számokat, amelyekre zⁿ = 1.

Bizonyítás

Három esetet veszünk.

Ha n > 0, teljes indukciót használunk. Ha n = 1, az eredményt nyilvánvalóan igaz. Tételezzük fel tehát, hogy az eredmény igaz egy tetszőleges k egész szám esetén. Vagyis azt feltételezzük, hogy

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,$

Akkor n = k + 1 esetén:

${\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)\qquad \mathrm {az\ indukci{\acute {o}}s\ feltev{\acute {e}}s\ alapj{\acute {a}}n} \\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]\qquad \mathrm {a\ trigonometrikus\ azonoss{\acute {a}}gok\ alapj{\acute {a}}n} \end{alignedat}}$

Vagyis bebizonyítottuk azt, hogy amennyiben a képlet igaz k -ra, akkor igaz n = k + 1 -re is. A teljes indukció elve alapján következik, hogy az eredmény igaz lesz minden n≥1 pozitív egész szám esetében.

Ha n = 0 a képlet igaz, mivel $\cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1$, és $z^{0}=1$.

Ha n < 0, vegyük azt az m pozitív egész számot, amelyre n = ‒m. Akkor

${\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{alignedat}}$

Vagyis a tétel igaz minden egész szám n-re.

Alkalmazás

A képlet segítségével meghatározhatók egy komplex szám $n$-edik gyökei. Ha $z$ egy komplex szám, melynek trigonometrikus alakja

$z=r\left(\cos x+i\sin x\right),\,$

akkor

$z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]$

akkor az $n$ darab különböző gyök értékét úgy kapjuk, hogy sorra behelyettesítjük $k$-t egész értékekkel $0$ és $n-1$ között.