„Részhalmaz” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

VizuálisWikiszöveges

Sorban

A lap 2020. június 2., 18:10-kori változata

A halmazelméletben egy halmaz valamely elemeinek a halmazát, összességét az adott halmaz részhalmazának nevezzük, beleértve azt az esetet is, amikor az adott halmaz összes elemét kiválasztjuk és azt is, amikor a halmazból egyetlen elemet sem választottunk ki. Az így értelmezett részhalmaz fogalma a halmazelmélet egyik alapvető fogalma.

Definíció

Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy $A$ részhalmaza a $B$ halmaznak, és így jelöljük $A\subseteq B$ ^[1], ha az a $A$ halmaz összes elemét tartalmazza a $B$ halmaz, azaz $\forall a\in A:a\in B$ .
Ha $A\subseteq B$ , de $A\neq B$ , azaz $B$ -nek van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme $A$ -nak, akkor azt mondjuk, hogy $A$ valódi részhalmaza $B$ -nek, és ezt így jelöljük: $A\subset B$ .^[1]

Jelölések

A részhalmazok mai jelölését először Ernst Schröder használta 1890-ben „Algebra der Logik“ című művében.^[2]

A patkó jelölést fordított irányban is szokták használni. A patkó a tartalmazó halmaz irányába nyitott. Mivel a halmazelméleti tartalmazás kapcsolódik a logikai implikációhoz, azért a patkót az implikáció jelölésére is használják. Néhány szerző a $\subseteq$ és $\supseteq$ jelek helyett a $\subset$ és $\supset$ jeleket használja, és nem vezet be külön jelölést a valódi részhalmazra;^[3]^[4] sőt, nem is használja a valódi részhalmaz fogalmat.

A legtöbb szerző rendre a $\subset$ és $\supset$ jeleket használja a valódi részhalmaz és a valódi tartalmazó halmaz számára $\subsetneq$ és $\supsetneq$ helyett.^[2] Ez hasonló a $\leq$ és $<$ jelekhez. Mivel ezeket akkor használják, ha ez a különbségtétel fontos, az $\subsetneq$ és $\supsetneq$ jelek ritkán kerülnek elő.

Tulajdonságok

Minden halmaz önmagának részhalmaza, azaz tetszőleges $A$ halmazra teljesül, hogy $A\subseteq A$ .
Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, azaz tetszőleges $A$ halmazra teljesül, hogy $\emptyset \subseteq A$ .
Ha $A\subseteq B$ és $B\subseteq A$ , akkor $A=B$ .
Ha $A\subseteq B$ és $B\subseteq C$ , akkor $A\subseteq C$ .
$A\subseteq B$ pontosan akkor áll fenn, ha $A\cup B=B$ .
$A\subseteq B$ pontosan akkor áll fenn, ha $A=A\cap B$ .
$A\subseteq B$ pontosan akkor áll fenn, ha $A\backslash B=\emptyset$ .

A számhalmazok kapcsolata

$\mathbb {N}$ = természetes számok halmaza $\{0,1,2,\dots \}$
$\mathbb {Z}$ = egész számok halmaza $\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,\dots \}$
$\mathbb {Q}$ = racionális számok halmaza ( ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$ alakú számok, ahol $z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z} \land z_{2}\neq 0$ )
$\mathbb {Q} '$ = irracionális számok halmaza (olyan számok, amelyek nem írhatók fel ${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$ alakban)
$\mathbb {R}$ = valós számok halmaza (a racionális és irracionális számok összessége ( $\mathbb {Q} \cup \mathbb {Q} '$ ))

Ekkor: $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$ , továbbá $\mathbb {Q} '\subset \mathbb {R}$ .

Lásd még

Hatványhalmaz

További információk

Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai

Jegyzetek

↑ ^a ^b A részhalmaz jelölése a szakirodalomban nem egységes, használatos még az $A\subset B$ jelölés is. Utóbbi esetben a valódi részhalmazt a következőképpen jelöljük: $A\subsetneq B$ .
↑ ^a ^b Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, 33. oldal
↑ Set theory. In: Encyclopedia of Mathematics.
↑ Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller: Vieweg Mathematik Lexikon. Vieweg, 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 190.

Hivatkozások

Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 3. kiadás, (1994) ISBN 963-18-5998-3

Külső hivatkozások

Subset a MathWorld oldalán

[jeloles-1] A részhalmaz jelölése a szakirodalomban nem egységes, használatos még az $A\subset B$ jelölés is. Utóbbi esetben a valódi részhalmazt a következőképpen jelöljük: $A\subsetneq B$ .

[deiser-2] Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, 33. oldal

[3] Set theory. In: Encyclopedia of Mathematics.

[4] Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller: Vieweg Mathematik Lexikon. Vieweg, 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 190.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ 7. sor: / 7. sor: @@
 Ha <math>A \subseteq B</math>, de <math>A \neq B</math>, azaz <math>B</math>-nek van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme <math>A</math>-nak, akkor azt mondjuk, hogy <math>A</math> '''valódi részhalmaza''' <math>B</math>-nek, és ezt így jelöljük: <math>A \subset B</math>.<ref name="jeloles"/>
 ==Jelölések==
-A részhalmazok mai jelölését először Ernst Schröder használta 1890-ben „Algebra der Logik“ című művében.<ref name="deiser">Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre''. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, 33. oldal</ref>
+A részhalmazok mai jelölését először Ernst Schröder használta 1890-ben „Algebra der Logik“ című művében.<ref name="deiser">Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre''. Springer, 2004, {{ISBN|978-3-540-20401-5}}, 33. oldal</ref>
-A patkó jelölést fordított irányban is szokták használni. A patkó a tartalmazó halmaz irányába nyitott. Mivel a halmazelméleti tartalmazás kapcsolódik a logikai implikációhoz, azért a patkót az implikáció jelölésére is használják. Néhány szerző a <math>\subseteq</math> és <math>\supseteq</math> jelek helyett a <math>\subset</math> és <math>\supset</math> jeleket használja, és nem vezet be külön jelölést a valódi részhalmazra;<ref>[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Set_theory&oldid=24823 ''Set theory''.] In: ''Encyclopedia of Mathematics''.</ref><ref>Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller: ''Vieweg Mathematik Lexikon''. Vieweg, 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 190.</ref> sőt, nem is használja a valódi részhalmaz fogalmat.
+A patkó jelölést fordított irányban is szokták használni. A patkó a tartalmazó halmaz irányába nyitott. Mivel a halmazelméleti tartalmazás kapcsolódik a logikai implikációhoz, azért a patkót az implikáció jelölésére is használják. Néhány szerző a <math>\subseteq</math> és <math>\supseteq</math> jelek helyett a <math>\subset</math> és <math>\supset</math> jeleket használja, és nem vezet be külön jelölést a valódi részhalmazra;<ref>[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Set_theory&oldid=24823 ''Set theory''.] In: ''Encyclopedia of Mathematics''.</ref><ref>Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller: ''Vieweg Mathematik Lexikon''. Vieweg, 1988, {{ISBN|3-528-06308-4}}, S. 190.</ref> sőt, nem is használja a valódi részhalmaz fogalmat.
 A legtöbb szerző rendre a <math>\subset</math> és <math>\supset</math> jeleket használja a valódi részhalmaz és a valódi tartalmazó halmaz számára <math>\subsetneq</math> és <math>\supsetneq</math> helyett.<ref name = "deiser" /> Ez hasonló a <math>\leq</math> és <math>< </math> jelekhez. Mivel ezeket akkor használják, ha ez a különbségtétel fontos, az <math>\subsetneq</math> és <math>\supsetneq</math> jelek ritkán kerülnek elő.