Vektorpotenciál (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A vektorpotenciál a vektoranalízis integrálfajtáinak egyike. Induljunk ki egy vektormezőből (B). A vektorpotenciál (A) az a vektormező, amelynek az adott vektormező a rotációja:

Ha a vektormező differenciálható, akkor és csak akkor létezik vektorpotenciálja, ha forrásmentes, vagyis örvénymező. Mivel mágneses monopólusok nincsenek, ezért a mágneses mező forrásmentes.

A mágneses mező örvényes volta következtében áramok jelenlétében nem jellemezhető skalárpotenciállal. Az elektromágneses tér számításánál a mágneses vektorpotenciál bevezetése nyújtja a megoldást. Ugyanis az Aharonov-Bohm-hatás nem magyarázható csupán a áramsűrűséggel.

A vektorpotenciál felhasználásával egyszerűbbé válnak a Maxwell-egyenletek, ezzel láthatóvá válik, hogy a helyfüggő áramsűrűséggel vett konvolúció vektorpotenciálja számítható adott áramsűrűség vektorpotenciáljaként is, és innen számítható a mágneses indukció és az áramsűrűség is.

Definíció[szerkesztés]

A forrásmentes vektormező vektorpotenciálja az az vektormező, amelyre

ahol is a rotáció. A forrásmentességnek azért kell teljesülnie, mert

minden kétszer differenciálható vektormezőre.

Az elektrodinamikában az elektromos mezőre

ahol skalárpotenciál.

Kiegészítve a Lorenz-mértékkel levezethetők a Maxwell-egyenletek. A magnetosztatikában a Coulomb-mértéket használják, ami az előbbi statikus határesete.

A kvantumelektrodinamikában és a relativitáselméletben a skalár- és vektorpotenciált a négyespotenciálban foglalják össze:

Tulajdonságok[szerkesztés]

(1) A vektorpotenciál csak egy gradiensmező erejéig meghatározott a gradiensmező örvénymentessége miatt. Tehát minden skalármezőre

A különböző mértékkel ellátott vektorpotenciálok is ugyanazt a mágneses mezőt adják. Ez a mágneses mező mértékinvarianciája.

(2) A vektorpotenciál nem konzervatív. Ha mégis, akkor az skalármező gradiense lenne, így:

(3) A magnetosztatikában a Coulomb-mérték szerinti vektorpotenciál forrásmentessé tehető:

.

(4) Ezzel szemben az elektrodinamikában nem statikus viselkedés esetén azonban többnyire a Lorenz-mértékre van szükség. Ekkor ugyanis az elektromágneses hullámmező számításához fontossá válik a következő kapcsolat:

Ahol skalárpotenciál, és a vákuumbeli fénysebesség.

(5) A magnetosztatikában a vektorpotenciál teljesíti a Poisson-egyenletet, amire (a vákuum permittivitásával és a vákuum permeabilitásával):

.
Innen a vektorpotenciál kifejezése konvolúció felhasználásával: (lásd Green-függvény):

A és a kifejezéseket és is jelölheti.

(6) Az elektrodinamikában a Poisson-egyenlet kiterjeszthető a vektorpotenciálra felírt (inhomogén) hullámegyenletté:

,
ahol a d'Alembert-operátor.

Az egyenlet (inhomogén) megoldása a késleltetett vektorpotenciál:

, mit .

A homogén megoldást a kezdeti feltételek teszik egyértelművé.

(7)A vektorpotenciál , és komponensei és a skalárpotenciál az elektrodinamikában négyesvektorrá foghatók össze, amit a Lorentz-transzformációk Albert Einstein speciális relativitáselméletében a (x, y, z ,ct) négyessé transzformálnak. Itt c a vákuumbeli fénysebesség.

Kapcsolat a skalárpotenciállal[szerkesztés]

A Helmholtz-tétel miatt (majdnem) minden vektormező előáll az és a vektormezők szuperpozíciójaként. egy skalármező gradiense, egy vektormező rotációja:

Ha konzervatív erőtér, ahol az erő a legkisebb kényszer elve szerint mindig a potenciál legnagyobb meredeksége felé irányul, akkor az egyenlet a következő alakra hozható:

Irodalom[szerkesztés]

  • Dr. Fodor György: Elektromágneses terek, Műegyetemi Kiadó, 1993.
  • Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5