Vektorpotenciál (matematika)

A vektorpotenciál a vektoranalízis integrálfajtáinak egyike. Induljunk ki egy vektormezőből (B). A vektorpotenciál (A) az a vektormező, amelynek az adott vektormező a rotációja:

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )=\operatorname {rot} \ \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )$

Ha a vektormező differenciálható, akkor és csak akkor létezik vektorpotenciálja, ha forrásmentes, vagyis örvénymező. Mivel mágneses monopólusok nincsenek, ezért a mágneses mező forrásmentes.

A mágneses mező örvényes volta következtében áramok jelenlétében nem jellemezhető skalárpotenciállal. Az elektromágneses tér számításánál a mágneses vektorpotenciál bevezetése nyújtja a megoldást. Ugyanis az Aharonov-Bohm-hatás nem magyarázható csupán a $\mathbf {B} (\mathbf {r} )$ áramsűrűséggel.

A vektorpotenciál felhasználásával egyszerűbbé válnak a Maxwell-egyenletek, ezzel láthatóvá válik, hogy a $\mathbf {j} (\mathbf {r} )$ helyfüggő áramsűrűséggel vett konvolúció vektorpotenciálja számítható adott áramsűrűség vektorpotenciáljaként is, és innen számítható a mágneses indukció és az áramsűrűség is.

Definíció

A $\mathbf {B} (\mathbf {r} )$ forrásmentes vektormező vektorpotenciálja az az $\mathbf {A} (\mathbf {r} )$ vektormező, amelyre

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )$

ahol is $\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )$ a rotáció. A forrásmentességnek azért kell teljesülnie, mert

$\operatorname {div} \mathbf {B} =\operatorname {divrot} \mathbf {A} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$

minden kétszer differenciálható vektormezőre.

Az elektrodinamikában az $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ elektromos mezőre

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ,t)-\partial _{t}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)$

ahol $\Phi$ skalárpotenciál.

Kiegészítve a Lorenz-mértékkel levezethetők a Maxwell-egyenletek. A magnetosztatikában a Coulomb-mértéket használják, ami az előbbi statikus határesete.

A kvantumelektrodinamikában és a relativitáselméletben a skalár- és vektorpotenciált a négyespotenciálban foglalják össze:

$A^{\mu }=\left(\Phi /c,\mathbf {A} \right)$

Tulajdonságok

(1) A vektorpotenciál csak egy gradiensmező erejéig meghatározott a gradiensmező örvénymentessége miatt. Tehát minden $\chi (\mathbf {r} ,t)$ skalármezőre

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)'=\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+\nabla \chi (\mathbf {r} ,t)$

$\Rightarrow \;\;\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)'=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)'=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+\nabla \times \nabla \chi =\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\,.$

A különböző mértékkel ellátott vektorpotenciálok is ugyanazt a mágneses mezőt adják. Ez a mágneses mező mértékinvarianciája.

(2) A vektorpotenciál nem konzervatív. Ha mégis, akkor az $\alpha$ skalármező gradiense lenne, így:

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla \times \nabla \alpha \equiv 0\,\,.$

(3) A magnetosztatikában a Coulomb-mérték szerinti vektorpotenciál forrásmentessé tehető:

$\nabla \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} )=0$.

(4) Ezzel szemben az elektrodinamikában nem statikus viselkedés esetén azonban többnyire a Lorenz-mértékre van szükség. Ekkor ugyanis az elektromágneses hullámmező számításához fontossá válik a következő kapcsolat:

$\nabla \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)+{\frac {1}{\ c^{2}}}\partial _{t}\Phi (\mathbf {r} ,t)=0\,.$ Ahol $\Phi (\mathbf {r} ,t)$ skalárpotenciál, és $c$ a vákuumbeli fénysebesség.

(5) A magnetosztatikában a vektorpotenciál teljesíti a Poisson-egyenletet, amire (a vákuum $\epsilon _{0}$ permittivitásával és a vákuum $\mu _{0}$ permeabilitásával):

$\nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}\mathbf {j} \equiv -\mu _{0}\mathbf {j}$.

Innen a vektorpotenciál kifejezése konvolúció felhasználásával: (lásd Green-függvény):

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,.$

A $\nabla \cdot \mathbf {A}$ és a $\nabla \times \mathbf {A}$ kifejezéseket $\mathrm {div} \,\mathbf {A}$ és $\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$ is jelölheti.

(6) Az elektrodinamikában a Poisson-egyenlet kiterjeszthető a vektorpotenciálra felírt (inhomogén) hullámegyenletté:

$\Box \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}c^{2}}}\mathbf {j}$,

ahol $\Box$ a d'Alembert-operátor.

Az egyenlet (inhomogén) megoldása a késleltetett vektorpotenciál:

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ',t')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'$, mit $t'=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$.

A homogén megoldást a kezdeti feltételek teszik egyértelművé.

(7)A vektorpotenciál $A_{x}$, $A_{y}$ és $A_{z}$ komponensei és a $\Phi /c$ skalárpotenciál az elektrodinamikában négyesvektorrá foghatók össze, amit a Lorentz-transzformációk Albert Einstein speciális relativitáselméletében a (x, y, z ,ct) négyessé transzformálnak. Itt c a vákuumbeli fénysebesség.

Kapcsolat a skalárpotenciállal

A Helmholtz-tétel miatt (majdnem) minden ${\vec {H}}({\vec {r}})$ vektormező előáll az ${\vec {F}}({\vec {r}})$ és a ${\vec {G}}({\vec {r}})$ vektormezők szuperpozíciójaként. ${\vec {F}}({\vec {r}})$ egy $\Phi ({\vec {r}})$ skalármező gradiense, ${\vec {G}}({\vec {r}})$ egy ${\vec {\Gamma }}({\vec {r}})$ vektormező rotációja:

${\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})$

Ha ${\vec {F}}({\vec {r}})\,$ konzervatív erőtér, ahol az ${\vec {F}}\,$ erő a legkisebb kényszer elve szerint mindig a $\Phi \$ potenciál legnagyobb meredeksége felé irányul, akkor az egyenlet a következő alakra hozható:

${\vec {H}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} \,\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} \,{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})+{\vec {\nabla }}\times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}).$

Irodalom

• Dr. Fodor György: Elektromágneses terek, Műegyetemi Kiadó, 1993.
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5