Lorentz-transzformáció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Lorentz-transzformációt egy holland fizikus, Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) írta fel elsőnek. A transzformáció kapcsolatot létesít két inerciarendszer között, amelyek X, Y és Z tengelyei párhuzamosak és amelyek egymáshoz képest X-irányú egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek. A kölcsönös mozgás az X tengely mentén v sebességgel történik. A transzformációval kiszámíthatjuk egy K rendszerben lévő esemény idejét és helyét egy K’ rendszerben is. Tehát ha adva van az x, y, z, t, akkor a Lorentz-transzformáció segítségével meghatározhatjuk x’, y’, z’, t’ értékeit.

H.A. Lorentz nem tudta megadni a transzformáció igazi értelmét, mivel ő nem tudta értelmezni a kétféle rendszeridőt. A helyes értelmezést Einstein alkotta meg a speciális relativitáselméletben.

A transzformáció egyenletei[szerkesztés]







A transzformáció levezetése[szerkesztés]

Egy olyan fényjelet, amely az X tengely pozitív irányában halad, a következő egyenlettel lehet felírni:

amiből egyértelműen következik az, hogy:

.

A fény az egyenlet szerint terjed. Mivel azt akarjuk, hogy a fény K' rendszerben is c sebességgel haladjon (azaz a fény mindkét rendszerben azonos sebességgel terjedjen), a K' rendszerben is a fenti, azaz az (1) egyenletet kell venni:

Azoknak az eseményeknek, melyek az (1) egyenletre igazak, igazaknak kell lenniük a (2) egyenletre is. Ez a feltétel teljesülni fog, ha a

egyenletet vesszük. Itt a λ egy állandót jelöl. A (3) egyenlet miatt az eltűnése egyértelműen maga után vonja az eltűnését is, mivel a kettő egyenlet ugyanaz, csak más inerciarendszerben számolunk vele. A negatív X tengely irányában terjedő fényre a következő hasonló egyenletet kell feltennünk:

.

Itt µ megint egy állandót jelöl. Adjuk össze, majd vonjuk ki egymásból a (3) és (4) egyenletet, majd vezessük be a λ és µ állandók helyett az alábbi két egyenletet az egyszerűsítés érdekében:

és

.

Ezekkel az

és

egyenleteket kapjuk. Mivel még nem ismerjük az immáron a és b állandókat, így ezeket ki kell következtetnünk. Ez a következő gondolatmenetből adódik. A K' rendszer kezdőpontjában , így következik az (5a) és (5b) egyenletekből:

.

Jelöljük v-vel azt a sebességet, amivel az egyik rendszer a másikhoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. Így ebben az esetben:

.

A v-re, azaz a sebességre ugyanilyen értéket fogunk kapni abban az esetben is, ha a K' rendszer egy másik pontjának a sebességét a K' rendszerhez képest vizsgáljuk, illetve ha a K rendszer egy pontjának (ami a negatív X tengely irányába irányul) a sebességét a K' rendszerhez viszonyítva számoljuk ki. Tehát ebből következik, hogy a v sebessége a K és K' rendszerek relatív sebességének felel meg. A relativitás elve miatt világos továbbá az is, hogy a K' rendszerhez viszonyítva egy nyugvó egység K rendszerből mért hosszának ugyanakkorának kell lennie, mint a K rendszerhez viszonyítva nyugvó egység K' rendszerből mért hossza. Ahhoz, hogy megtudjuk, hogyan látjuk az X' tengely pontjait a K rendszerből, nem kell mást tennünk, mint megállítanunk az időt és a t-nek egy értéket kell adnunk. (például ) Ebben az esetben (5a) alatti egyenletből

lesz. Az X' tengely két olyan pontja, melyek a K rendszerben mérve távolságban vannak egymástól, az általunk "megfagyasztott" időben

távolságra van egymástól. Ha azonban mi a "megfagyasztott" idő alatt a K' rendszerből viszonyítunk, akkor (még mindig ), akkor az (5a) és (5b) egyenletből a t állandó kivonásával, tekintettel a (6) egyenletre

összefüggést kapunk. Ebből arra következtethetünk, hogy az X tengelyen két egység a K rendszerhez viszonyítva a "fagyasztott" idő alatt

egység távolságban van egymástól. Mivel az egységeknek mindkét rendszerből nézve egyenlő távolságra kell lenniük, így az kell, hogy a (7) egyenlet Δx változója legyen egyenlő a (7a) egyenlet Δx értékével. Így ebből az következik, hogy

.

A (6) és (7b) egyenletek meghatározzák az a és b állandók értékét. Ha az (5) egyenletbe behelyettesítjük a és b értékeit, akkor a Lorentz-transzformáció két egyenletét kapjuk:

és

Így megkaptuk a Lorentz-transzformációt az X tengelyen történő eseményekre. A két egyenlet kielégíti a

egyenletet.

Azokat az eseményeket, amik nem az X tengelyen mennek végbe, úgy tudjuk meghatározni, hogy hozzácsatoljuk az

és

egyenleteket a (8a) és (8b) egyenletekhez, mivel az Y és Y', illetve a Z és Z' tengelyek párhuzamosak, így K és K' rendszerben a pontjaik ilyen koordinátái egyenlőek.

Forrás[szerkesztés]

  • Albert Einstein - A speciális és általános relativitás elmélete, Gondolat, Budapest 1973. (Vámos Ferenc fordítása)