Ugrás a tartalomhoz

Szerkesztő:Cvbncv/Vektoranalízis-azonosságok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A vektoranalízis főbb azonosságai az alábbiak.

Jelölések

[szerkesztés]

Gradiens

[szerkesztés]

Háromdimenziós Descartes-koordinátarendszerben egy függvény gradiense az alábbiak szerint adható meg:

,

ahol i, j, k a szokásos bázisvektorok, pedig a nabla operátor.

Egy n-edrendű tenzormező gradiense általános alakban az alábbiak szerint írható fel:

,

a gradiens mező rendje pedig n + 1. Speciális esetben ha a tenzormező rendja 0, azaz egy skalármezőről van szó, akkor ennek gradiense a

vektormező.

Divergencia

[szerkesztés]

Háromdimenziós Descartes-koordinátarendszerben egy folytonosan differenciálható vektormező divergenciája az alábbi skalárértékű kifejezéssel írható fel:

,

ahol a nabla operátor. Egy rendű tenzormező divergenciája általánosan

,

amelynek rendje n − 1. A tenzormező divergenciája felírható úgy is, hogy a tenzormezőt vektoriális szorzatok összegére bontjuk. Ennek megfelelően fennál az alábbi összefüggés:

,

ahol irány menti derivált és hossza szorzatának irányában. Speciális esetben két vektorra az alábbi összefüggést írhatjuk:

Rotáció

[szerkesztés]

Háromdimenziós Descartes-koordinátarendszerben egy vektormező rotációja:

, kifejtve

,

ahol i, j, és k a szokásos bázisvektorok.

Egy háromdimenziós vektormező rotációja is háromdimenziós.

A rotáció Einstein-jelöléssel az alábbi alakba írható:

,

ahol ε a Levi-Civita-szimbólum.

Laplace-operátor

[szerkesztés]

Háromdimenziós Descartes-koordinátarendszerben egy függvényre a Laplace-operátor az alábbiak szerint értelmezhető:

Egy tenzormezőből a Laplace operátor egy -val azonos rendű tenzormezőt képez az alábbiak szerint:

.

További jelölések

[szerkesztés]

A Feynman-jelöléssel olyan operátor adható meg, mely szorzatok csak egy tényezője szerinti gradienst jelent:[1][2]

.

A tényező szerinti gradiens egy másik jelölése a Hestenes-féle pontjelölés, mellyel a fenti összefüggés így adható meg:

A jelölés értelmében az operátor csak a pontozott tényezőre hat, a többi tényező állandónak tekinthető.[3]

A magyar oktatási gyakorlatban egyaránt elterjedt az operátorok névvel, illetve nabla operátorral való jelölése, ezért az alábbi szakaszokban az összefüggéseket mindkét alakban láthatjuk.

Az operátorok tulajdonságai

[szerkesztés]

A és skalármezők, és vektormezők, és Descartes-koordinátarendszerben értelmezett és függvények esetén az alábbi alapösszefüggések írhatók fel.

A gradiens, a divergencia és a rotáció disztributivitása

[szerkesztés]

Szorzat gradiense

[szerkesztés]

Skalárral szorzott tenzormező azonosságai

[szerkesztés]
( tenzormező első rendű gradiense)
[forrás?]

Hányados-azonosságok

[szerkesztés]

Láncszabály

[szerkesztés]

Felcserélés a vektori szorzattal

[szerkesztés]

ahol JA jelöli A Jacobi-determinánsát.[4]

A speciális A = B esetben

Felcserélés keresztszorzattal

[szerkesztés]

Második deriváltak

[szerkesztés]

Gradiens rotációja

[szerkesztés]

The curl of the gradient of any continuously twice-differentiable scalar field is always the zero vector:

Rotáció divergenciája

[szerkesztés]

The divergence of the curl of any vector field A is always zero:

Gradiens divergenciája

[szerkesztés]

A skalármezőre ható Laplace-operátor a definíciójából következően felfogható a mező gradiensének divergenciájaként. Skalármezőre ható Laplace-operátor skalármezőt eredményez.

.

Rotáció rotációja

[szerkesztés]

Here,∇2 is the vector Laplacian operating on the vector field A.

Összefoglaló táblázat

[szerkesztés]

Összefüggések a mezőkre

[szerkesztés]
Elemi Elemi összeadási és szorzási azonosságok

Az operátorok azonosságai

[szerkesztés]
Az összefüggés operátornévvel felírva Az összefüggés nablával felírva Megyjegyzés
Elsőrendű deriváltak
Másodrendű deriváltak
skalár-Laplace
vektor-Laplace
Green-függvény-azonosság
Harmadrendű deriváltak
DCG chart: A simple chart depicting all rules pertaining to second derivatives. D, C, G, L and CC stand for divergence, curl, gradient, Laplacian and curl of curl, respectively. Arrows indicate existence of second derivatives. Blue circle in the middle represents curl of curl, whereas the other two red circles(dashed) mean that DD and GG do not exist.

Integration

[szerkesztés]

Below, the curly symbol ∂ means "boundary of".

Surface–volume integrals

[szerkesztés]

In the following surface–volume integral theorems, V denotes a three-dimensional volume with a corresponding two-dimensional boundary S = ∂V (a closed surface):

Curve–surface integrals

[szerkesztés]

In the following curve–surface integral theorems, S denotes a 2d open surface with a corresponding 1d boundary C = ∂S (a closed curve):

  •   (Stokes' theorem)

Integration around a closed curve in the clockwise sense is the negative of the same line integral in the counterclockwise sense (analogous to interchanging the limits in a definite integral):

Sablon:Intorient

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. The Feynman Lectures on Physics. Addison-Wesley, Vol II, p. 27–4. o. (1964). ISBN 0-8053-9049-9 
  2. Kholmetskii, A. L.; Missevitch, O. V. (2005). "The Faraday induction law in relativity theory". p. 4. arXiv:physics/0504223. {{cite arXiv}}: Unknown parameter |url= ignored (help)
  3. Geometric algebra for physicists. Cambridge University Press, 169. o. (2003). ISBN 978-0-521-71595-9 
  4. Chapter 1.14 Tensor Calculus 1: Tensor Fields, Mechanics Lecture Notes Part III: Foundations of Continuum Mechanics. University of Auckland (2013). Hozzáférés ideje: 2017. december 7. 

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Vector calculus identities című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információ

[szerkesztés]
  • Balanis, Constantine A.. Advanced Engineering Electromagnetics. ISBN 0-471-62194-3 
  • Schey, H. M.. Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company (1997). ISBN 0-393-96997-5 
  • Griffiths, David J.. Introduction to Electrodynamics. Prentice Hall (1999). ISBN 0-13-805326-X