Szerkesztő:Annamesz/Általános lineáris modell

Az általános lineáris modell vagy a többváltozós regressziós modell (angolul general linear model) egy statisztikai lineáris modell, melyet a következő egyenlet ír le:

$\mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,$

ahol Y egy többváltozós mérések sorozatával rendelkező mátrix (az egyes oszlopok a függő változók egyikének mérési halmazát képezik), X a független változók megfigyelésének mátrixa, amely lehet modell mátrix (minden oszlop valamely független változó méréseit tartalmazza), B egy paramétereket tartalmazó mátrix, amelyeket általában becsülni kell, és U egy errorokat (zajt) tartalmazó mátrix. Az errorok általában nem korrelálnak a mérések között, és többváltozós normál eloszlást követnek. Ha azonban mégsem követik a többváltozós normál eloszlást, akkor az általánosított lineáris modellt lehet használni az Y és U feltételezések enyhítésére.

Az általános lineáris modell számos különféle statisztikai modellt tartalmaz: ANOVA, ANCOVA, MANOVA, MANCOVA, általános lineáris regresszió, t- teszt és F- teszt . Az általános lineáris modell több lineáris regresszió általánosítása egynél több függõ változó esetében. Ha Y, B és U oszlopvektorok, a fenti mátrix egyenlet több lineáris regressziót képviselne.

A hipotézis teszteket az általános lineáris modellel kétféle módon lehet elvégezni: többváltozós vagy több független egyváltozós vizsgálatként. Többváltozós tesztekben az Y oszlopait együtt teszteljük, míg az egyváltozós tesztekben az Y oszlopait egymástól függetlenül teszteljük, vagyis több egyváltozós tesztként, ugyanazon tervezési mátrix segítségével.

Összehasonlítás többszörös lineáris regresszióval

A többszörös lineáris regresszió az egyszerű lineáris regresszió általánosítása egynél több független változó esetében, valamint az általános lineáris modellek különleges esete, amely egy függő változóra korlátozódik. A többszörös lineáris regresszió alapmodellje:

$Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\epsilon _{i}$

minden megfigyelésnél i = 1, ..., n .

A fenti képletben figyelembe vesszük az egyik függõ változó és p független változó n megfigyelését. Így, Y _i az ^i-edik megfigyelés a függő változó, X _ij ^i-edik megfigyelés a ^j-edik független változó, j = 1, 2, ..., p. A β _j értékek a becslendő paramétereket képviselik, és ε _i az i^-edik független, azonos módon elosztott normál error.

Az általánosabb többváltozós lineáris regresszió esetében a fenti egyenlet egyikére egy forma az m > 1 függő változók mindegyikére, amelyek ugyanazt a magyarázó változót tartalmazzák, és így becsülhetők meg egymással:

$Y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}X_{i1}+\beta _{2j}X_{i2}+\ldots +\beta _{pj}X_{ip}+\epsilon _{ij}$

minden megfigyeléshez i = 1, ..., n, és minden függő változóhoz j = 1, ..., m .

Összehasonlítás az általánosított lineáris modellel

Az általános lineáris modell (GLM) és az általánosított lineáris modell (GLiM) két, a statisztikai módszerek általánosan alkalmazott csoportja, amelyek bizonyos számú folyamatos és / vagy kategorikus prediktort egyetlen eredményhez kapcsolnak.

A két megközelítés közötti fő különbség az, hogy a GLM szigorúan azt feltételezi, hogy a reziduálisok feltételesen normál eloszlást követnek , míg a GLiM lazítja ezt a feltételezést, és lehetővé teszi azexponenciális családtól különböző eloszlást is a reziduálisoknak . Megjegyzendő, hogy a GLM a GLiM különleges esete, amelyben a reziduálisok eloszlása egy feltételesen normál eloszlást követ.

A reziduálisok eloszlása nagymértékben függ a kimeneti változó típusától és eloszlásától; különféle típusú eredményváltozók vezetnek a modellek sokféleségéhez a GLiM családon belül. A GLiM családban általánosan használt modellek tartalmaznak bináris logisztikus regressziót bináris vagy dichotóm kimenetekhez, Poisson regressziót a kimeneti eredményekhez, és lineáris regressziót a folyamatos, normál eloszlású kimenetekhez. Ez azt jelenti, hogy a GLiM-ről, mint statisztikai modellek általános családjáról, vagy meghatározott eredménytípusokra specifikus modellekről lehet beszélni.

Bővítések és kapcsolódó módszerek	MANOVA, MANCOVA, lineáris vegyes modell	általánosított lineáris vegyes modell (GLMM), általánosított becslési egyenletek (GEE)
	Általános lineáris modell	Általános lineáris modell
Tipikus becslési módszer	Legkisebb négyzetek, a legjobb lineáris elfogulatlan becslés	Maximális valószínűség vagy bayes-i
Példák	ANOVA, ANCOVA, lineáris regresszió	lineáris regresszió, logisztikus regresszió, Poisson regresszió, gamma regresszió, általános lineáris modell
R csomag és funkció	lm () a statisztikai csomagban (R alap)	glm () a statisztikai csomagban (R alap)
Matlab funkció	mvregress ()	glmfit ()
SAS eljárások	PROC GLM, PROC REG	PROC GENMOD, PROC LOGISTIC (bináris és rendezett vagy rendezetlen kategorikus eredményekhez)
Stata parancs	visszafejlődés	GLM
SPSS parancs	regresszió, glm	genlin, logisztikai
Wolfram Language & Mathematica funkció	LinearModelFit []	GeneralizedLinearModelFit []
EViews parancs	ls	glm

Alkalmazások

Az általános lineáris modell alkalmazása megjelenik többféle agyi képalkotás elemzésében tudományos kísérletekben, ahol Y az agyszkennerek adatait tartalmazza, X kísérleti tervezési változókat és összekeveréseket tartalmaz. Ezt általában egyváltozós módon tesztelik (ebben a beállításban általában tömeg egyváltozósnak nevezik), és gyakran statisztikai paraméteres leképezésnek is nevezik.

Lásd még

• Bayes-féle többváltozós lineáris regresszió

Irodalom

• Christensen, Ronald. Plane Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models, Third, New York: Springer (2002). ISBN 0-387-95361-2 
• Wichura, Michael J.. The coordinate-free approach to linear models, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, xiv+199. o. (2006). ISBN 978-0-521-86842-6 
• Rawlings, john O,; Pantula, Sastry G,; Dickey David A., eds. (1998). "Applied Regression Analysis". Springer Texts in Statistics. doi:10.1007/b98890.

[[Kategória:Lapok ellenőrizetlen fordításokkal]]