Szabadelektron-modell

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A szilárdtestfizikában a szabadelektron-modell egy egyszerű modell a fémes szilárdtestek kristályos szerkezetében a vezetési sáv működésének leírására. Eredetileg Arnold Sommerfeld fejlesztette ki ezt az elméletet, kombinálva a klasszikus Drude-modellt a kvantummechanika Fermi–Dirac-statisztikájával, ezért Drude–Sommerfeld-modellnek is hívják.

Alkalmazásai[szerkesztés]

A szabadelektron üreskristályrács-közelítés közelítéselmélete alapozza meg az energiasávszerkezet-modellt, amely közel-szabadelektron modellként is ismert. Egyszerűségéből adódóan meglepően sikeresen magyaráz meg különféle kísérleti jelenségeket, mint például:

Elképzelések és feltételezések[szerkesztés]

Ahogy a Drude-modellnél feltételezik, a vezetési elektronok teljesen le vannak csatolva az ionoktól (elektrongázt formálva). Mint egy ideális gázban, az elektron-elektron kölcsönhatást teljesen elhanyagolják. A fémeknél az elektrosztatikus mezők gyengék az árnyékoló hatás miatt. A kristályrácsot nem veszik explicit módon számításba. A kvantummechanikai igazolást a Bloch-tétel adja: egy nem kötött elektron periodikus potenciálban mozog, mint egy szabad elektron vákuumban, azzal a különbséggel, hogy m tömegét egy m* effektív tömeggel kell helyettesíteni, amely jelentősen eltérhet m-től. Még negatív effektív tömeg is alkalmazható az elektronlyukak általi vezetés leírására.

Az effektív tömeg a sávszerkezet számításaiból vezethető le.

Míg a statikus rács nem akadályozza az elektron mozgását, az elektronok szóródni képesek a szennyezések és a fononok miatt; e két kölcsönhatás határozza meg az elektromos és termikus vezetőképességet (a szupravezetés egy még jobban kidolgozott elméletet igényel, mint a szabadelektron-modell).

A Pauli-elv szerint minden egyes fázistérelem, (Δk)³(Δx)³ csak két elektront tartalmazhat (spinkvantumszámonként egyet). A rendelkezésre álló elektronállapotoknak ezt a megkötését a Fermi–Dirac-statisztika veszi figyelembe (lásd még Fermi-gáz). A szabadelektron-modell legfőbb jóslatai a Fermi–Dirac-elmélet Sommerfeld-kiterjesztéséből származtathatók, a Fermi-szintnek megfelelő energiáknál.

A szabad elektron energiája és hullámfüggvénye[szerkesztés]

Haladó síkhullám

Egy szabad részecske potenciálja . A Schrödinger-egyenlet az ilyen részecskére, mint a szabad elektronra: [1] [2][3]

A hullámfüggvény szeparálható egy időfüggő és egy időfüggetlen egyenlet megoldásainak szorzatára. Az időfüggő egyenlet:

energiával Az időfüggetlen egyenlet:

hullámszámvektorral. annak a térnek a térfogata, ahol az elektron található. Az elektron kinetikus energiája:

A Schrödinger-egyenlet síkhullámmegoldása:

A sziládtestfizikában és a kondenzált anyagok fizikájában a legfontosabb a időfüggetlen megoldás. Ez az elektronikus sávszerkezet-modellek kiindulópontja, amelyet széles körben alkalmaznak a szilárdtestfizikában a modellek Hamilton-függvényének felépítésekor, mint például a közelszabad-elektron modellnél és a szoroskötés-modellnél, valamint más modelleknél, amelyek muffin-tin közelítést használnak. Ezen Hamilton-függvények sajátfüggvényei Bloch-állapotok, modulált síkhullámok.

Haladó síkhullámú megoldás[szerkesztés]

Az időfüggetlen stacionárius hullám és az időfüggő oszcillátor szorzata:

megadja a haladóhullám-megoldást

mely a végleges megoldás a szabadelektron-hullámfunkcióra.

Síkhullámok


Hivatkozások[szerkesztés]

  1. Albert Messiah. Quantum Mechanics. Dover Publications (1999). ISBN 0-486-40924-4 
  2. Stephen Gasiorowicz. Quantum Physics. Wiley & Sons (1974). ISBN 0-471-29281-8 
  3. Eugen Merzbacher. Quantum Mechanics. Wiley & Sons (1961) 

Források[szerkesztés]

  • Albert Messiah: Quantum Mechanics. (hely nélkül): Dover Publications. 1999. ISBN 0486409244  
  • Stephen Gasiorowicz: Quantum Physics. (hely nélkül): Wiley & Sons. 1974. ISBN 0471292818  
  • Eugen Merzbacher: Quantum Mechanics. (hely nélkül): Wiley & Sons. 1999.  
  • C. Kittel: Introduction to Solid State Physics. (hely nélkül): Wiley & Sons. 1999. ISBN 0486409244  

További információk[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]