[[Fájl:Sws sphaerisch.PNG|thumb|Két általános gömbháromszög]]
A gömbháromszögek körében a háromszög-egyenlőtlenség azokra a háromszögekre korlátozódik, amiknek egyik oldala sem nagyobb egy fél főkörívnél, azaz ''a'' < π, ''b'' < π és ''c'' < π. Általános gömbháromszögekre a tétel ''nem'' igaz.
Ahogy az ábra mutatja:
:<math>\left|a - b\right| \le c_1 \le a + b,</math>
de <math>c_2 > a+b</math>, ahol még az is igaz, hogy <math>c_2 > \pi.</math>
== Források ==
== Források ==
{{források}}
{{források}}
A lap 2010. július 31., 08:46-kori változata
A háromszög-egyenlőtlenség a trigonometria egyik legfontosabb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni.
Az egyenlőtlenség tovább általánosítható valós és komplex számokra, összegzésekre, integrálokra, és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét abszolútértékek és különféle normák veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is.
A tétel
A háromszög bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz:
, és .
A tétel ekvivalens alakja: , és
Bizonyítás:
-t elég bizonyítani. Hosszabbítsuk meg az oldalt, és felmérjük a távolságot a meghosszabbított félegyenesre, így kapjuk a szakaszt. háromszög egyenlő szárú, ekkor szög = szög. az szög belsejében halad, ekkor szög > szög = szög, így . Ez viszont éppen a tételben szereplő .
Metrikus interpretáció
A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja, hogy a kétdimenziós (általánosabban, az n-dimenziós) euklideszi tér tetszőleges három A,B,C pontjára igaz legyen, hogy bármely kettő pár egymástól mért távolságainak összege nagyobb, mint a harmadik pár közt mért távolsága:
AB+BC≥AC
BC+CA≥BA
CA+AB≥BC
Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "két pont között a legrövidebb út az egyenes", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.
A tétel általánosításai
Valós számokra
Valós számokra:
Bizonyítás:
Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
Mindkét oldalból kivonva az azonos tagokat:
és ez mindig teljesül, mert
minden -re.
Valós számokra önállóan is belátható a háromszög-egyenlőtlenség kivonásos alakja:
Nyilván
Az
helyettesítéssel
Viszont, ha
akkor
Az előző két egyenlőtlenséget összetéve
y helyére -y-t téve
Összefoglalva
minden -re.
Komplex számokra
Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség::
Bizonyítás:
Mivel egyik oldal sem lehet negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:
ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A két oldalról eltávolítva az egyenlő tagokat, és a helyettesítést elvégezve
A gömbháromszögek körében a háromszög-egyenlőtlenség azokra a háromszögekre korlátozódik, amiknek egyik oldala sem nagyobb egy fél főkörívnél, azaz a < π, b < π és c < π. Általános gömbháromszögekre a tétel nem igaz.
Ahogy az ábra mutatja:
de , ahol még az is igaz, hogy
Források
↑Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. kiadás. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 85.1
↑Walter Rudin: Real and Complex Analysis. MacGraw-Hill 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem 1.33
Obádovics J. Gyula: Matematika
Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!