„Holomorf függvények” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
17. sor: | 17. sor: | ||
==Példák== |
==Példák== |
||
Holomorf a <math>f(z)=z</math> függvény. |
|||
* Minden komplex együtthatós polinomfüggvény holomorf a teljes komplex síkon. |
|||
* A ''sin'', a ''cos'' és az ''exp'' függvények holomorfak a teljes komplex síkon. |
|||
A valós esethez hasonlóan itt is igaz, hogy holomorf függvények összege, konstansszorosa és szorzata differenciálható. Ebből következik, hogy minden komplex [[polinom]]függvény is differenciálható a teljes komplex síkon. |
|||
* A {''z'' : ''z'' ≠ 0} halmazon holomorf a következő hozzárendelés: <math>z \mapsto {1 \over z}</math> |
|||
Megmutatható, hogy minden komplex [[hatványsor]] differenciálható a [[konvergenciahalmaz]]ának belsejében. Ebből következik, hogy az |
|||
<math>\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}</math> |
|||
határértékkel definiált [[exponenciális függvény]] differenciálható a teljes komplex számsíkon. Vegyük észre, hogy ez a függvény ellentétben a valósban megismert tulajdonságaival, nem kölcsönösen egyértelmű, sőt periodikus a függőleges egyenesek mentén, azaz, ha <math>z_1-z_2=2 n\pi i</math>, akkor <math>\exp(z_1)=\exp(z_2)</math> |
|||
==Ellenpéldák== |
==Ellenpéldák== |
A lap 2008. november 21., 16:51-kori változata
A holomorf függvény a komplex analízis egy fogalma. A nyílt halmazon értelmezett, komplex értelemben differenciálható komplex függvényeket nevezzük holomorfnak.
A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.
Definíció
Legyen adva az nyílt halmaz, és az leképezés. Ezt akkor mondjuk holomorf függvénynek, ha minden pontban létezik a következő határérték:.
Ezt a határértéket az -beli (komplex)deriváltjának nevezzük, és -lal jelöljük.
Ezzel ekvivalens az, ha az függvény előáll -sugarú környezetében a következő alakban:
ahol komplex szám (természetesen függ -tól), pedig úgynevezett kisrendű függvény, azaz , ha .
Példák
Holomorf a függvény.
A valós esethez hasonlóan itt is igaz, hogy holomorf függvények összege, konstansszorosa és szorzata differenciálható. Ebből következik, hogy minden komplex polinomfüggvény is differenciálható a teljes komplex síkon.
Megmutatható, hogy minden komplex hatványsor differenciálható a konvergenciahalmazának belsejében. Ebből következik, hogy az
határértékkel definiált exponenciális függvény differenciálható a teljes komplex számsíkon. Vegyük észre, hogy ez a függvény ellentétben a valósban megismert tulajdonságaival, nem kölcsönösen egyértelmű, sőt periodikus a függőleges egyenesek mentén, azaz, ha , akkor
Ellenpéldák
- Nem holomorf a konjugát operátor:
- Nem holomorf a valósrész képzés operátor:
Tulajdonságok
- Bizonyítható, hogy a holomorf függvények végtelenszer differenciálhatóak, azaz analitikus függvények.
- Holomorf függvények kompozíciója holomorf.
- Holomorf függvények lineáris kombinációja holomorf.
- Holomorf függvények szorzata holomorf.
- Holomorf függvények hányadosa is holomorf, amennyiben a nevező nem nulla.