Kommutativitás

A matematikában a kommutativitás vagy felcserélhetőség a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Olyan matematikai műveleteket neveznek így, melyeknél az összetevők sorrendjének felcserélése nem változtatja meg a művelet eredményét.

Definíció

Legyen $(A;\cdot )$ tetszőleges grupoid. Ha minden $a,b\in A$ elemre teljesül, hogy $a\cdot b=b\cdot a$, akkor azt mondjuk, hogy a $\cdot$ művelet kommutatív a $(A;\cdot )$ grupoidban.

Tulajdonságok

• Kommutatív $(A;\cdot )$ félcsoportokban teljesül az általános kommutativitás tétele, azaz tetszőleges $a_{1},...,a_{n}\in A$ elemekre az $a_{1}\cdot ...\cdot a_{n}\in A$ szorzat eredménye független az $a_{1},...,a_{n}$ tényezők sorrendjétől.

Példák

• A valós számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás műveletek kommutatívak.
• A valós számokon értelmezett kivonás művelet nemkommutatív.
• Az egyesítés és metszetképzés bármely, halmazokból álló alaphalmazon értelmezve kommutatív.
• A leképezések szorzása nemkommutatív.

Kommutatív struktúrák

• Abel-csoport

Lásd még

• Asszociativitás
• Disztributivitás