Gömbkoordináták

A koordinátageometriában a gömbi koordináták vagy térbeli polárkoordináta-rendszer egy háromdimenziós koordinátarendszer, amiben a pontok helyét az origótól mért távolságuk és két szög adja meg.

Az origó középpontú gömbökön az origótól mért távolság konstans. Így ezeken a felületeken a pontok helyét két szöggel lehet meghatározni. Ezek a gömbi koordináták. A gömbi koordináták kifejezést pontatlanul alkalmazhatják az általános esetre és a speciális esetre is.

A gömbi koordináták a síkbeli polárkoordináta-rendszer egyik általánosítása. Egy másik általánosítás a hengerkoordináta-rendszer.

Konvenciók

Definíció

Egy gömbi koordinátarendszert a háromdimenziós euklideszi térben a következők határoznak meg:

• egy $O$ középpont, origó
• egy, az origón áthaladó irányított egyenes (pólustengely). Ez tűzi ki a pólus irányát, és ez rögzíti az egyenlítősíkot is, ami az origóban a pólusegyenesre állított merőleges sík
• egy rögzített irány az egyenlítősíkon

Gyakran egy Descartes-féle koordinátarendszert is használnak a gömbi koordinátarendszerrel együtt. Ekkor:

• annak origója a gömbi koordinátarendszer origója
• annak pólustengelye a z-tengely (így az x és y-tengelyek az egyenlítősíkban vannak
• annak x-tengelye az egyenlítősíkon rögzített irány, így az y-tengely is egyértelműen meghatározott

A matematikában és a fizikában általában a következő koordinátákat használják:

• $r$ a sugár, a pont origótól mért távolsága
• $\theta$ vagy $\vartheta$, polárszög vagy polártávolságszög, a pólusirány és az origóból a ponthoz húzott irányított szakasz szöge. Ez a szög $0$ és $\pi$ közötti (0°-tól 180°-ig terjed), és a gömbfelületen egy kört határoz meg.
• $\varphi$ vagy $\phi$, azimutszög, az egyenlítősíkban rögzített irány és az origó és a pont közötti szakasz merőleges vetületének szöge. Ennek nagysága $-\pi$-től $\pi$-ig (−180°-tól 180°-ig) vagy 0-tól $2\pi$-ig terjed (0°-tól 360°-ig). A hosszúsági szög megfelelője.

Átszámítások

Minden $(r,\theta ,\varphi )$ hármashoz hozzá van rendelve egy pont. Koordinátái a fentiek szerint választott Descartes-koordinátarendszerben:

${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}$

Ezekbe az egyenletekbe bármely $r$, $\theta$ és $\varphi$ koordináta behelyettesíthető. Ahhoz, hogy a koordináták egyértelműek legyenek, korlátozni kell értékeiket. Általában: $r$ nemnegatív, $\theta$ értéke $[0,\pi ]$ illetve [0, 180°] eleme, és $\varphi$ a $(-\pi ,\pi ]$ illetve (−180°, 180°], vagy a $[0,2\pi )$ illetve [0, 360°) intervallumba esik. Vannak pontok, melyeknek így is többféleképpen koordinátázhatók. A z-tengely pontjai esetén $\varphi$ tetszőleges. Az origó számára $\theta$ is tetszőleges. Az egyértelműség kedvéért rögzíthetjük, hogy $\varphi =0$, és az origó esetén $\theta =0$.

A többi pont esetén a fentiek szerint választott Descartes-koordinátarendszerben adott $(x,y,z)$ koordinátáikból az $(r,\theta ,\varphi )$ gömbkoordináták a következőképpen számíthatók:

${r}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

${\theta }=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\ =\arccos {\frac {z}{r}}\ =\ \operatorname {arcctg} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

$\varphi =\operatorname {arctg2} (y,x)={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{, ha }}x>0,\\\operatorname {sgn}(y){\frac {\pi }{2}}&{\text{, ha }}x=0,\\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{, ha }}x<0\land y\geq 0,\\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{, ha }}x<0\land y<0.\end{cases}}$

Ezek az egyenletek felteszik, hogy $\varphi$ értéke és $-\pi$ és $\pi$ közötti. Ha $\varphi$ értéke 0 és $2\pi$ közötti, akkor az egyenleteket ennek megfelelően kell módosítani.

Az analízisben és alkalmazásaiban a szögkoordináták többnyire ívmértékben adják meg.

Alkalmazások

A gömbkoordinátákat gyakran használják forgásszimmetrikus rendszerek vizsgálatára. Példák: térfogatintegrálok gömbön, forgásszimmetrikus erőterek, mint például gömb alakú égitestek gravitációja, egy ponttöltés elektromos tere (lásd még: felszíni integrál). A képleteket egyszerűsíti, ha függetlenek egy vagy két gömbi koordinátától. Fontos parciális differenciálegyenletek, mint például a Laplace-egyenlet vagy a Helmholtz-egyenlet gömbi koordinátákban a változók szétválasztásával könnyen megoldhatók.

Alternatív jelölések

A fenti konvenció nemzetközileg használatos az elméleti fizikában. Néha a $\theta$ és $\varphi$ jelöléseket fordítva használják, különösen az amerikai szakirodalomban.

A $\theta$ nem ugyanaz, mint a földrajzi szélesség; inkább ko-szélességként definiálható. A földrajzi szélességet az egyenlítősík és az adott pont helyvektora által bezárt szög, értéke $-90^{\circ }$ és $90^{\circ }$ közötti. Ha ezt $\phi$ jelöli, akkor $\phi =90^{\circ }-\theta ,\theta =90^{\circ }-\phi$. Ezzel szemben $\varphi$ minden további nélkül megfelel a $\lambda$ földrajzi hosszúságnak.

A fenti konvenció inkonzisztens a síkbeli polárkoordináta-rendszer felépítésével. Egyes problémákhoz praktikusabb az

$x=r\cos \phi \,\cos \varphi$

$y=r\cos \phi \,\sin \varphi$

$z=r\sin \phi \quad$

ábrázolás. Ebben az ábrázolásban $\phi$ a földrajzi szélesség.

Egy ${\vec {p}}$ pont, illetve helyvektor visszatranszformációja:

$\phi =\arcsin(z/r)$

$\varphi =\operatorname {atg2} (y,x)$,

ahol $r=|{\vec {p}}|$.

Differenciálok transzformációja

Jacobi-mátrix

Egy koordináta-transzformáció helyi tulajdonságait Jacobi-mátrixszal írják le. A gömbkoordináták transzformációját a fenti Descartes-féle koordinátarendszerbe a következő mátrix írja le:

$J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}.$

A hozzá tartozó funkcionáldetermináns:

$\det J=r^{2}\sin \theta$

A transzformáció inverzét legegyszerűbben a $J$ mátrix invertálásával számolhatjuk ki:

$J^{-1}={\frac {\partial (r,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\{\frac {1}{r}}\cos \theta \cos \varphi &{\frac {1}{r}}\cos \theta \sin \varphi &-{\frac {1}{r}}\sin \theta \\-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin \varphi }{\sin \theta }}&{\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi }{\sin \theta }}&0\end{pmatrix}}.$

A mátrix néhány komponense olyan tört, melynek nevezője nullává válik, ha $\textstyle r=0$ vagy $\textstyle \sin \theta =0$, tehát $\textstyle \theta =0$ vagy $\textstyle \pi$. Kevésbé szokásos az ábrázolás Descartes-koordinátákkal:

$J^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.$

Differenciál, térfogatelem, felszínelem, lineáris elem

A Jacobi-mátrix lehetővé teszi, hogy a differenciálok átszámítását átláthatóan átírjuk lineáris leképezéssé:

${\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}=J\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} \varphi \end{pmatrix}}$

illetve

${\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} \varphi \end{pmatrix}}=J^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}$.