„Konstans függvény” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Vandalizmus vagy teszt szerkesztés visszaállítása |
|||
1. sor: | 1. sor: | ||
Egy [[függvény (matematika)|függvényt]] ''konstans''nak nevezünk, ha [[értékkészlet]]e egyelemű. Formálisan: f(x)=f(y) minden, az [[értelmezési tartomány]]ban levő x-re és y-ra. |
|||
függvény |
|||
Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az [[üres halmaz]]on van értelmezve. |
|||
Ha [[polinom]]ként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans [[fokszám (polinom)|foka]] 0, a konstans [[0 (szám)|nulla]] fokát pedig nem értelmezzük. |
|||
== Tulajdonságok == |
== Tulajdonságok == |
||
A konstans függvények jellemezhetők a [[függvénykompozíció]] segítségével. |
|||
sok hülyeség |
|||
A következők ekvivalensek: |
|||
* f'' : ''A'' → ''B'' konstans |
|||
* minden g, h függvényre ''g'', ''h'' : ''C'' → ''A'', ''f'' <small> o </small> ''g'' = ''f'' <small> o </small> ''h'', (a kategóriaelméletben így definiálják) |
|||
* bármely függvénnyel komponáljuk <math>f</math>-et, mindig konstans függvényt kapunk. |
|||
Ha f valós [[intervallum]]on értelmezett konstans függvény és valós értékű, akkor [[differenciálhatóság|differenciálható]], és [[derivált]]ja az azonosan 0 függvény. |
|||
Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. [[Grafikon]]ja vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes vagy egyenes. |
|||
A konstans függvények [[rendezési reláció|részbenrendezett halmazokon]] egyszerre rendezéstartók és rendezésfordítók. [[háló (algebra)|Hálókon]] ez az állítás megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai lennének. |
|||
[[topologikus tér|Topologikus terek]] bármely konstans leképezése folytonos. [[Összefüggő halmaz]]on minden lokálisan konstans függvény az egész [[halmaz]]on konstans. |
|||
Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor [[idempotencia|idempotens]]. |
|||
== További összefüggések, általánosítás == |
== További összefüggések, általánosítás == |
||
⚫ | |||
* A [[komplex függvénytan]] Liouville tétele szerint [[korlátosság|korlátos]] [[egészfüggvény]] konstans. Következmény: pólushely nélküli [[elliptikus függvény]] konstans. |
|||
A lokálisan konstans függvények a konstans függvények általánosításának tekinthetők. |
|||
* Tartalmazzon az <math>Y</math> halmaz egynél több elemet. Az <math>X</math> topologikus tér összefüggő, ha minden lokálisan konstans <math>f:X \to Y</math> függvény konstans. |
|||
* Ha az <math>A</math> topologikus tér összefüggő, és a <math>B</math> topologikus tér diszkrét, akkor a <math>g:A \to B</math> folytonos függvény konstans. |
|||
Bizonyítás: A <math>B</math> tér minden pontja nyílt-zárt. Tekintsük minden egyes pont teljes ősképét, ezek nyílt-zárt halmazok az <math>A</math> térben. Az <math>A</math> tér összefüggősége miatt azonban az összes nyílt-zárt részhalmaz az üres és az egész. Az egésznek viszont csak egy képe lehet, így az egész egy pontba képeződik, tehát a függvény konstans. |
|||
== Források == |
|||
* Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973) |
|||
* Thomas-féle kalkulus I., II., III. |
|||
* Halász Gábor: Komplex függvénytan |
|||
⚫ | |||
* {{planetmath reference|id=4727|title=konstans függvény}} |
|||
* [http://www.mathace.net/functions-algebra/constant konstans függvények] a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések |
|||
[[Kategória:Függvények]] |
[[Kategória:Függvények]] |
A lap 2017. január 18., 19:40-kori változata
Egy függvényt konstansnak nevezünk, ha értékkészlete egyelemű. Formálisan: f(x)=f(y) minden, az értelmezési tartományban levő x-re és y-ra. Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az üres halmazon van értelmezve. Ha polinomként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans foka 0, a konstans nulla fokát pedig nem értelmezzük.
Tulajdonságok
A konstans függvények jellemezhetők a függvénykompozíció segítségével.
A következők ekvivalensek:
- f : A → B konstans
- minden g, h függvényre g, h : C → A, f o g = f o h, (a kategóriaelméletben így definiálják)
- bármely függvénnyel komponáljuk -et, mindig konstans függvényt kapunk.
Ha f valós intervallumon értelmezett konstans függvény és valós értékű, akkor differenciálható, és deriváltja az azonosan 0 függvény. Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. Grafikonja vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes vagy egyenes.
A konstans függvények részbenrendezett halmazokon egyszerre rendezéstartók és rendezésfordítók. Hálókon ez az állítás megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai lennének.
Topologikus terek bármely konstans leképezése folytonos. Összefüggő halmazon minden lokálisan konstans függvény az egész halmazon konstans. Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor idempotens.
További összefüggések, általánosítás
- A komplex függvénytan Liouville tétele szerint korlátos egészfüggvény konstans. Következmény: pólushely nélküli elliptikus függvény konstans.
A lokálisan konstans függvények a konstans függvények általánosításának tekinthetők.
- Tartalmazzon az halmaz egynél több elemet. Az topologikus tér összefüggő, ha minden lokálisan konstans függvény konstans.
- Ha az topologikus tér összefüggő, és a topologikus tér diszkrét, akkor a folytonos függvény konstans.
Bizonyítás: A tér minden pontja nyílt-zárt. Tekintsük minden egyes pont teljes ősképét, ezek nyílt-zárt halmazok az térben. Az tér összefüggősége miatt azonban az összes nyílt-zárt részhalmaz az üres és az egész. Az egésznek viszont csak egy képe lehet, így az egész egy pontba képeződik, tehát a függvény konstans.
Források
- Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
- Thomas-féle kalkulus I., II., III.
- Halász Gábor: Komplex függvénytan
- konstans függvény a PlanetMath oldalain
- konstans függvények a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések