„Hatványhalmaz” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
a robot Adding: el:Δυναμοσύνολο |
a Robot: Kiskötőjel cseréje gondolatjelre |
||
32. sor: | 32. sor: | ||
==Tételek a hatványhalmazról== |
==Tételek a hatványhalmazról== |
||
* '''Tétel''' |
* '''Tétel''' – Ha ''H'' [[véges halmaz]] és elemszáma az ''n'' természetes szám, akkor ''H'' hatványhalmazának [[számosság|számossága]] <math>| \mathcal{P}(H) | = 2^n</math>. |
||
:''Megjegyzés'': Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló <math>2^H:=\mathcal{P}(H)</math> hatványozásra utaló félrevezető jelölést (ui. <math>|2^H| = 2^{|H|}</math>, ahol a baloldali „hatványozás” egy jelölés, míg a jobboldali egy művelet). |
:''Megjegyzés'': Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló <math>2^H:=\mathcal{P}(H)</math> hatványozásra utaló félrevezető jelölést (ui. <math>|2^H| = 2^{|H|}</math>, ahol a baloldali „hatványozás” egy jelölés, míg a jobboldali egy művelet). |
||
* '''Tétel''' |
* '''Tétel''' – (''[[Cantor-tétel]]'') – Bármely ''H'' halmaz esetén <math>\mathcal{P}(H)</math> számossága nagyobb ''H'' számosságánál. |
||
Jelben: <math>| \mathcal{P}(H) | > |H|</math>. |
Jelben: <math>| \mathcal{P}(H) | > |H|</math>. |
||
* '''Tétel''' |
* '''Tétel''' – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a [[valós szám]]ok halmazának számosságával, azaz [[kontinuum-számosság]]ú. Tömören: <math>|\mathcal{P}(\mathbb{N})| = |\mathbb{R}|</math>. |
||
Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet. |
Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet. |
||
* '''Állítás''' |
* '''Állítás''' – Ha ''H'' halmaz, akkor a |
||
:* <math>(\mathcal{P}(H),\cup)</math> és <math>(\mathcal{P}(H),\cap)</math> (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes [[félcsoport|félcsoportok]] |
:* <math>(\mathcal{P}(H),\cup)</math> és <math>(\mathcal{P}(H),\cap)</math> (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes [[félcsoport|félcsoportok]] |
||
:* <math>\mathcal{P}(H)</math> a <math>\cup</math>-val és <math>\cap</math>-val mint műveletekkel ellátva [[Boole-algebra|Boole-algebrát]] alkot |
:* <math>\mathcal{P}(H)</math> a <math>\cup</math>-val és <math>\cap</math>-val mint műveletekkel ellátva [[Boole-algebra|Boole-algebrát]] alkot |
A lap 2007. április 7., 19:59-kori változata
Ha H halmaz, akkor -val jelöljük és a H halmaz hatványhalmazának nevezzük a H összes részhalmazainak halmazát.
Jelben: ahol a szimbólum a részhalmaz-reláció jele.
Példa
Ha H az {a,b,c} háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:
- nulla elemű részhalmaza az üres halmaz (jelben: {}, vagy )
- egyelemű részhalmazai az {a}, a {b} és a {c}
- kételemű részhalmazai: {a,b}, {a,c}, és {b,c}
- egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga: {a,b,c}
Tehát
Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz fogalmai
Cantor elméletében, a naiv halmazelméletben egyáltalán nem kétséges, hogy minden H halmaz esetén a kijelentésből képezett halmaz létezik. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát hatványhalmaz axiómának nevezzük.
Zermelo-Fraenkel axiómarendszer
ZF-ben (és bővítéseiben) hatványhalmaz axiómának nevezzük a következő formulát:
ahol jelöli az formulát.
Neumann-Bernays-Gödel halmazelmélet
Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható T(x) tulajdonságra az {x|T(x)} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük halmaznak, hanem csak osztálynak. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a H kifejezés halmaz, ha levezethető az formula. Ezt a formulát Set(H)-val jelöljük és jelentése: "H halmaz ". Rövidítsük az -t -val. Ekkor a hatványhalmaz axióma a következő formula:
Bourbaki-halmazelmélet
A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden A formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és x változó esetén jelöli az formulát, melynek jelentése: "az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)". Ha tétel, akkor azt mondjuk, hogy az A formula kollektivizáló az x változóban. A hatványhalmaz axióma ekkor a következő formula:
ahol jelöli az formulát.
Tételek a hatványhalmazról
- Tétel – Ha H véges halmaz és elemszáma az n természetes szám, akkor H hatványhalmazának számossága .
- Megjegyzés: Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló hatványozásra utaló félrevezető jelölést (ui. , ahol a baloldali „hatványozás” egy jelölés, míg a jobboldali egy művelet).
- Tétel – (Cantor-tétel) – Bármely H halmaz esetén számossága nagyobb H számosságánál.
Jelben: .
- Tétel – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a valós számok halmazának számosságával, azaz kontinuum-számosságú. Tömören: .
Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.
- Állítás – Ha H halmaz, akkor a
- és (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes félcsoportok
- a -val és -val mint műveletekkel ellátva Boole-algebrát alkot
- a relációval ellátva Boole-hálót alkot.
Továbbá a mértékelmélet számára fontos tény, hogy a hatványhalmaz halmazgyűrű, sőt -algebra (szigma-algebra).
Történeti adalékok
Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált Cantor-antinómia a Cantor-tételből következik. Legyen U az összes halmazok halmaza, azaz bármely H halmazra . A naiv halmazelmélet szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így U-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: , ami ellentmondás.
Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a összességet, de mivel Set(U) cáfolható, azaz U nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.
Felhasznált irodalom
Bourbaki halmazelméletéről
- Kristóf János, Az analízis logikai alapjai, ELTE jegyzet, 1998.
(A matematika logikai megalapozása Bourbaki-szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)
- Kristóf János, Az analízis elemei. I., ELTE jegyzet, 1996.
(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki-szerint. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)
- Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
- Cikk a Bourbaki-csoportról