„Riemann-integrál” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Hoi (vitalap | szerkesztései) a →Integrálási szabályok: () |
|||
52. sor: | 52. sor: | ||
Amennyiben létezik az <math>\int_a^b f</math> integrál, akkor <math>s_n \le \int_a^b f \le S_n</math>. Ily módon az integrált „két érték közé tudjuk szorítani”. |
Amennyiben létezik az <math>\int_a^b f</math> integrál, akkor <math>s_n \le \int_a^b f \le S_n</math>. Ily módon az integrált „két érték közé tudjuk szorítani”. |
||
=== A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibniz-formula=== |
=== A primitív függvény fogalma és a [[Newton–Leibniz-tétel|Newton-Leibniz-formula]]=== |
||
Az <math>I</math> (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett ''f'' függvény ''primitív függvényének'' nevezzük az ''F'' függvényt, ha '' F'(x)=f (x) '' teljesül bármely <math>x\in I</math> esetén. (Azaz ha F [[derivált]]ja az eredeti f függvény.) |
Az <math>I</math> (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett ''f'' függvény ''primitív függvényének'' nevezzük az ''F'' függvényt, ha '' F'(x)=f (x) '' teljesül bármely <math>x\in I</math> esetén. (Azaz ha F [[derivált]]ja az eredeti f függvény.) |
||
A lap 2011. április 30., 22:04-kori változata
A matematikai analízisben az érintőprobléma mellett a másik jelentős témakör a kvadratúra problémája, vagyis a függvénygörbe alatti terület meghatározása, azaz az integrálás.
Szemléletesen az integrálás feladata azt meghatározni, hogy adott [a,b] zárt intervallumon értelmezett, pozitív értékeket felvevő függvény esetén mekkora területű síktartományt határol a függvény görbéje, az x tengely, valamint az x = a és az x = b egyenes. Valójában ez a másik irányban igaz: Az integrálás segítségével definiálható az említett görbével határolt terület nagysága.
Folytonos függvények integráljára először Cauchy adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. Riemann kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük.
Riemann definíciója
Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.
Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen halmazzal, ahol . Ezt az Fn halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen:
Mindegyik [xi-1, xi] részintervallumból (1 ≤ i ≤ n) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξi elemet.
Állítsunk f(ξi) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:
Ezt a jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:
A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: . Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.
Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: vagy röviden: .
Összefoglalva:
- ahol
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.
Az alsó és a felső integrálközelítő összeg
Ha a összegben az helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez jutunk: , ahol a függvény felső határa (supremuma) az intervallumon.
Hasonló a (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg definíciója is: ahol az függvény alsó határa (infimuma) az intervallumon.
Amennyiben létezik az integrál, akkor . Ily módon az integrált „két érték közé tudjuk szorítani”.
A primitív függvény fogalma és a Newton-Leibniz-formula
Az (véges vagy végtelen) intervallumon értelmezett f függvény primitív függvényének nevezzük az F függvényt, ha F'(x)=f (x) teljesül bármely esetén. (Azaz ha F deriváltja az eredeti f függvény.)
Ha egy F(x) függvény primitív függvény, akkor F(x)+C is az, ahol C tetszőleges valós szám, hiszen konstans hozzáadása a deriváltat nem változtatja meg. Az is bebizonyítható, hogy az összes primitív függvény felírható F(x)+C alakban. Összefoglalva tehát egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, de ezeket konstans hozzáadásával megkapjuk egymásból.
Ez grafikusan is könnyen belátható. A derivált a függvény „változási gyorsaságát” jelenti, azaz a grafikonjának a meredekségét. Ha hozzáadunk egy konstanst, akkor a függvény képe függőlegesen eltolódik. Nyilván ezzel minden pontban ugyanaz marad a meredeksége. A három grafikonon ábrázolt függvény deriváltfüggvénye tehát ugyanaz lesz.
Az f(x) legyen a sin x függvény. Ennek egyik primitív függvénye a -cos x függvény, hiszen (-cos x)' = sin x, de a -cos x +5 függvény is primitív függvény. Általánosan fogalmazva egy függvény pontosan akkor primitív függvénye a sin x függvénynek, ha felírható -cos x +C alakban, ahol C valós szám.
Bebizonyítható, hogy a határozott integrál a következőképpen számolható:
Newton–Leibniz-formula: , ahol az F függvény az f függvény egyik primitív függvénye, a pedig egy új jelölés az F(b)-F(a) kifejezésre.
A szinuszfüggvényt felrajzolva, a kapott eredmény előjele nem meglepő, hiszen a kérdéses intervallumon a függvényérték végig negatív.
Határozatlan integrál
A primitív függvények halmazát határozatlan integrálnak vagy antideriváltnak nevezzük. Ezt a halmazt vagy gyakrabban annak egy általános elemét vagy röviden jelöli.
Nevezetes függvények primitív függvényei
, ahol C tetszőleges valós szám.
, ahol C tetszőleges valós szám.
, ahol C tetszőleges valós szám.
, ahol C tetszőleges valós szám.
, ahol C tetszőleges valós szám.
, ahol C tetszőleges valós szám.
Integrálási szabályok
Az integrálási szabályok levezethetőek a deriválási szabályokból. Példák (f,g függvények, c valós konstans) :
, ahol és valós szám és az függvénynek egy primitív függvénye.
, ahol a egy primitív függvénye.
, ahol C tetszőleges valós szám.
, ahol C tetszőleges valós szám.
A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma
Egy intervallumon értelmezett függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos és majdnem minden pontjában folytonos (tehát a szakadási pontok halmaza a Lebesgue-mérték szerint nullmértékű).
Egyéb integrálok
Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom:
- Banach-integrál
- Burkill-integrál
- Daniell-integrál
- Darboux-integrál, a Riemann-integrál egy variációja
- Denjoy-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása
- Dirichlet-integrál
- Euler-integrál
- Fejér-integrál
- Haar-integrál
- Henstock-Kurzweil-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása (HK-integrál, valamint Kurzweil-Henstock-integrál néven is)
- Henstock-Kurzweil-Stieltjes integrál (HK-Stieltjes-integrál néven is)
- Itô-integrál
- Itô-Stieltjes-integrál
- Lebesgue-integrál
- Lebesgue-Stieltjes-integrál (Lebesgue-Radon-integrál néven is)
- mérték szerinti integrál, az integrálfogalom legfontosabb mértékelméleti általánosítása
- Perron-integrál, ami ekvivalens a tiltott Denjoy-integrállal
- Poisson-integrál
- Radon-integrál
- Stieltjes-integrál, a Riemann-integrál kiterjesztése (Riemann-Stieltjes-integrálnak is nevezik)
- sztochasztikus integrál
- Wiener-integrál
- Young-féle integrál
Források
- Durszt E. (1995): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
- Imreh Cs. (1997): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
- Leindler L. (1995): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
- Medvegyev P. (2004): Szochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
- Mikolás M. (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.