„Konvex és konkáv függvény” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
→Tulajdonságok: Jensen-egyenlőtlenség |
folytonosság és differenciálhatóság |
||
35. sor: | 35. sor: | ||
[[Fájl:Konvex.jpg|thumb|rigt|A függvény '''konvex''' a [-1,9;0] intervallumban]] |
[[Fájl:Konvex.jpg|thumb|rigt|A függvény '''konvex''' a [-1,9;0] intervallumban]] |
||
==Tulajdonságok== |
==Tulajdonságok== |
||
*Konvex függvények lineáris |
*Konvex függvények [[lineáris kombináció]]ja újra konvex lesz, ha nincs benne negatív együttható. Konkáv függvények csupa nem negatív együtthatós lineáris kombinációja újra konkáv. |
||
*Ha egy függvénysorozat véges kivétellel csupa konvex, vagy konkáv függvényt tartalmaz, akkor a sorozat határértéke is ilyen lesz. |
*Ha egy függvénysorozat [[majdnem|véges kivétellel]] csupa konvex, vagy konkáv függvényt tartalmaz, akkor a sorozat határértéke is ilyen lesz. |
||
*Konvex függvények felső |
*Konvex függvények [[felső burkoló]]ja konvex, konkáv függvények [[alsó burkoló]]ja konkáv. |
||
*Teljesül a Jensen-egyenlőtlenség: ha ''f'' konvex, és a λ<sub>i</sub> együtthatók egyike sem negatív, akkor |
*Teljesül a [[Jensen-egyenlőtlenség]]: ha ''f'' konvex, és a λ<sub>i</sub> együtthatók egyike sem negatív, akkor |
||
:<math>f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left(x_i\right).</math> |
:<math>f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left(x_i\right).</math> |
||
Ha ''f'' konkáv, akkor az egyenlőtlenség fordított irányú. |
Ha ''f'' konkáv, akkor az egyenlőtlenség fordított irányú. |
||
*Nyílt intervallumon konvex, vagy konkáv függvény [[folytonosság|folytonos]] azon az intervallumon. Megfordítva, ha egy nyílt intervallumon folytonos függvényre teljesül a Jensen-egyenlőtlenség, akkor a függvény az egyenlőtlenség irányától függően konvex, vagy konkáv. |
|||
*Nyílt intervallumon konvex, vagy konkáv függvény [[majdnem|majdnem mindenütt]] differenciálható. |
|||
{{csonk-dátum|csonk-mat|2006 novemberéből}} |
{{csonk-dátum|csonk-mat|2006 novemberéből}} |
||
A lap 2010. november 28., 17:34-kori változata
|
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. (2006 novemberéből) |
A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvényt konvexnek nevezünk, ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konvex halmaz, azaz ha egy szakasz két végpontja benne van a síktartományban, akkor a szakasz összes pontja is. Egy másik szemléletes megfogalmazás, hogy akkor konvex egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad.
Az Rn egy konvex részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény esetén is szokás konvexitásról beszélni, ennek formális megfogalmazása lentebb található. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R2 R esetben) konvex.
Hasonlóan, egy intervallumon értelmezett, valós értékű függvény konkáv, ha a görbéje feletti végtelen síktartomány konkáv. Ekvivalensen, akkor konkáv egy függvény, ha érintője mindenütt a függvénygörbe fölött halad. A konkáv tulajdonság is kiterjeszthető az Rn egy konvex részén értelmezett függvényekre. Lényegében itt is arról van szó, hogy a függvény grafikonja fölötti térrész (R2 R esetben) konkáv.
Általános definíció
Az f: R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad, azaz tetszőleges a < b pontra az -ből és t ∈ [0,1]-re:
f konkáv, ha a függvénygörbe két pontját összekötő húr a függvénygörbe alatt halad, azaz ha tetszőleges a < b pontra az -ből és t ∈ [0,1]-re:
Szigorúan konvexnek illetve szigorúan konkávnak nevezzük f-et, ha a fenti formulában csak akkor teljesülhet egyenlőség, ha t= 0 vagy 1.
A többváltozós esetben a fenti formulák változatlanul fennmaradnak, csak a és b az értelmezési tartományba eső tetszőleges szakasz két végpontja.
Konvexitás és differenciálhatóság
Ha az f: R intervallumon értelmezett, valós függvény differenciálható, akkor ennek konvex tulajdonsága még a következőképpen is megfogalmazható: minden -beli , számpár esetén
illetve konkáv, ha minden -beli , számpár esetén:
Azaz az érintő egyenes (mely differenciálható függvények esetében értelmezhető csak) konvex esetben mindig a függvénygörbe alatt, konkáv esetben felett halad. Ekkor rendre a függvény és első Taylor-polinomja közötti f – T1,uf ≧ 0 illetve f – T1,uf ≦ 0 egyenlőtlenségről beszélünk (tetszőleges u ∈ pontnál).
Amennyiben a függvény kétszer differenciálható, akkor fenáll a következő
Tétel – A konvexitás (konkavitás) jellemzése – Az f: R intervallumon értelmezett kétszer differenciálható függvény pontosan akkor konvex (konkáv), ha a második deriváltja mindenhol nemnegatív (nempozitív).
- f konvex
- f konkáv
Tulajdonságok
- Konvex függvények lineáris kombinációja újra konvex lesz, ha nincs benne negatív együttható. Konkáv függvények csupa nem negatív együtthatós lineáris kombinációja újra konkáv.
- Ha egy függvénysorozat véges kivétellel csupa konvex, vagy konkáv függvényt tartalmaz, akkor a sorozat határértéke is ilyen lesz.
- Konvex függvények felső burkolója konvex, konkáv függvények alsó burkolója konkáv.
- Teljesül a Jensen-egyenlőtlenség: ha f konvex, és a λi együtthatók egyike sem negatív, akkor
Ha f konkáv, akkor az egyenlőtlenség fordított irányú.
- Nyílt intervallumon konvex, vagy konkáv függvény folytonos azon az intervallumon. Megfordítva, ha egy nyílt intervallumon folytonos függvényre teljesül a Jensen-egyenlőtlenség, akkor a függvény az egyenlőtlenség irányától függően konvex, vagy konkáv.
- Nyílt intervallumon konvex, vagy konkáv függvény majdnem mindenütt differenciálható.