„Catalan-sejtés” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a r2.7.1) (Bot: következő hozzáadása: ru:Гипотеза Каталана |
kék |
||
| 4. sor: | 4. sor: | ||
:<var>x</var><sup><var>a</var></sup> ‒ <var>y</var><sup><var>b</var></sup> = 1 |
:<var>x</var><sup><var>a</var></sup> ‒ <var>y</var><sup><var>b</var></sup> = 1 |
||
egyenlet egyetlen megoldása |
egyenlet egyetlen megoldása |
||
<var>x</var>,<var>a</var>,<var>y</var>,<var>b</var> > 1 [[egész |
<var>x</var>,<var>a</var>,<var>y</var>,<var>b</var> > 1 [[egész számok]] esetén: |
||
:3² ‒ 2³ = 1 |
:3² ‒ 2³ = 1 |
||
A lap 2012. október 5., 18:25-kori változata
A Catalan-sejtés a számelmélet egyszerűen megfogalmazható sejtése, amelyet belga Eugène Charles Catalan fogalmazott meg 1844-ben. A sejtés szerint a 8= 2³ és 9 = 3² az egyetlen példa közvetlen egymásutáni teljes hatványokra.
Másképpen a Catalan-sejtés azt állítja, hogy az
- xa ‒ yb = 1
egyenlet egyetlen megoldása x,a,y,b > 1 egész számok esetén:
- 3² ‒ 2³ = 1
Ez az egyik klasszikus példa úgynevezett exponenciális diofantoszi egyenletre. Könnyen látható, hogy elég azt az esetet belátni, amikor a, b prímszámok. Carl Ludwig Siegel egy 1929-es tételéből következik, hogy rögzített a, b esetén csak véges sok megoldás van. Robert Tijdeman 1976-ban, felhasználva Alan Baker logaritmusok lineáris kombinációira adott elméletét, bebizonyította, hogy összesen is csak véges sok ilyen számpár van. Végül Preda Mihǎilescu 2002-ben bebizonyította Catalan-sejtését, tehát az most már sejtésből tétellé vált.
Külső hivatkozások
- http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html
- P. Mihailescu (2004). „Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s conjecture” (angol nyelven). Crelle's Journal (572), 167–195. o.