Penrose-féle csempézés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Penrose hatszöges csempéi

A Penrose-féle csempézés az aperiodikus csempehalmazok (illetve az azokkal való csempézések) egy olyan csoportja, amit Roger Penrose (és tőle függetlenül Robert Ammann) fedezett fel.

Penrose először 1973-ban talált egy 6 csempéből álló aperiodikus csempehalmazt. Az első csempehalmazt, ami bizonyítottan aperiodikus volt, Berger 1966-ban találta, és 20 426 csempéből állt. Ezek a csempék négyszögek voltak, melyeknek az oldalait úgy változtatták meg, hogy a periodicitást elkerüljék. Később sikerült lecsökkentenie a csempék számát 104-re, majd 92-re. Raphael M. Robinson 1971-ben egy 6 csempéből álló halmazt talált. Ez is hat módosított négyzetet tartalmazott. Penrose hat csempéje szabályos hatszögekből állt, és csillagszerű alakzatokból, ezzel megtörte a négyzetek egyeduralmát és azt a sejtést is megdöntötte, miszerint csak módosított négyzetekkel lehet nemperiodikusan lefedni a síkot.

A Penrose-csempézés tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Penrose-csempézés iterációi
A rombuszoknak ez a módosítása és az ábrái nem szükségesek, csak arra szolgálnak, hogy kizárják a helytelen összeillesztést
Penrose Tiling (P1).svg
Penrose Tiling (P1 over P3).svg

Penrose ezután még sokat foglalkozott a csempékkel, és még két, egyenként két-két csempéből álló aperiodikus halmazt talált.

Penrose csempézés színesben

Az egyik ilyen csempehalmaz két rombuszt tartalmaz:

  • A kövér rombusznak {72, 72, 108, 108} fokosak a szögeik
  • A sovány rombusznak {36, 36, 144, 144} fokosak a szögeik.
Penrose rombuszai

A csempéket egy egyszerű szabály szerint illesztjük egymáshoz: a két rombusz nem alkothat soha paralelogrammát. Könnyítésként megjelölhetjük az oldalakat, hogy tudjuk, hogy melyik oldalhoz melyiket illeszthetjük. Használhatunk erre a célra színeket, vagy megfelelő módon megváltoztathatjuk a rombuszok oldalait, hogy azokat csak úgy lehessen összeérinteni, hogy a kapott csempézés ne legyen periodikus.

A másik ismert, két csempéből álló halmaz két deltoidot tartalmaz:

  • Egy konvexet, amit sárkánynak és
  • egy konkávat, amit dárdának hívunk.
A sárkány és a dárda

A deltoidok rövidebb oldala 1, a hosszabb pedig {\tau}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, amit szokás aranyszámnak is hívni, hiszen az aranymetszésnél a megfelelő két hossz aránya is ez a szám. Az aranyszám sok helyen előbukkan a csempézés tulajdonságai között:

  • A sárkányok {\tau}-szor annyian vannak, mint a dárdák.
  • A területek aránya is {\tau}-szoros.
  • A csempézés nem-periodikusságának egyik bizonyításában is döntő szerepe van, hiszen a {\tau} egy irracionális szám.

A Penrose-csempék ugyan nem ismétlődő, nem periodikus alakzatokat hoznak létre, a mintának mégis vannak bizonyos periodikusság látszatát nyújtó jellegzetességei, egyfajta rendezettsége. A rombuszokból álló csempézetben például szabályos tízszögek jelennek meg, amik mindenütt azonos állásúak - minden egyes tízszög élei párhuzamosak az összes többiével. Ezek egymásba olvadó elemi celláknak tűnnek. Kváziszimmetriát mutat 72°-os elforgatásra (ötfogású szimmetria). Ez azért is érdekes, mert periodikusan ismétlődő elemi cellákból álló sík- vagy térbeli alakzat nem mutathat ötös szimmetriát. (Ötszögekkel ugyanis nem lehet maradéktalanul lefedni a síkot.)

Néhány példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Név Alap 1. iteráció 2. iteráció 3. iteráció
Félsárkány Penrose kile 0.svg Penrose kite 1.svg Penrose kite 2.svg Penrose kite 3.svg
Félnyíl Penrose dart 0.svg Penrose dart 1.svg Penrose dart 2.svg Penrose dart 3.svg
Nap Penrose sun 0bis.svg Penrose sun 1.svg Penrose sun 2.svg Penrose sun 3.svg
Csillag Penrose star 0.svg Penrose star 1.svg Penrose star 2.svg Penrose star 3.svg

Kvázikristályok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bár először csak mint érdekes matematikai játék és struktúra jelent meg a Penrose-féle nemperiodikus csempézés, 1984-ben felfedeztek egy ötvözetet, az Al6Mn-t, aminek a szerkezete a Penrose-féle csempézés térbeli változata. Így a csempézés tulajdonságainak vizsgálata elősegítette az ötvözet tulajdonságainak megértését. Egyébként ez az ötvözet külsőleg mint kristály viselkedett, de rövid időre megkérdőjelezte a szilárdtestfizika alapfeltevését, miszerint egy kristály szerkezete csak 2-es, 3-as, 4-es vagy 6-os forgásszimmetriát mutathat. Már tudjuk, hogy ezek nem igazi kristályok, ezért kvázikristálynak nevezik.

Tízszögű csempe[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Penrose-csempézésben megjelenő tízszögletű alakzat miatt felmerült a lehetősége, hogy egyetlen tízszögű csempével is megoldható lenne a feladat. 1996-ban Petra Gummelt igazolta, hogy egy tízszögű csempe két lehetséges megengedett átfedésével nemperiodikus síklefedés hozható létre.

dekoratív mintázat a Penrose-csempék felhasználásával

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Penrose, Roger. (1989) The Emperor's New Mind. (ISBN 0-19-851973-7)
    • magyarul: Roger Penrose: A császár új elméje, Akadémiai Kiadó, 1993
  • Csonka Dorottya (2004. november (XII.évf./5.szám) A nem periodikus Penrose-csempézés. Matematika Tanítása (MS-9101)
Penrose-féle csempézés
  • David R. Nelson (1986.). „Kvázikristályok”. Scientific American (magyar kiadás) (10), 25-33. o.  

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]