Nilradikál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A nilradikál az algebrában egy kommutatív gyűrű nilpotens elemeiből álló ideálja. Nemkommutatív esetben ez a definíció különböző módokon általánosítható.

Kommutatív gyűrűk nilradikálja[szerkesztés]

Legyen egy kommutatív gyűrű. A nilradikál nilpotens elemeinek halmaza:

A binomiális tétel miatt bármely két nilpotens elem összege is nilpotens, és a kommutativitás miatt bármely elem nilpotens elemmel vett szorzata is nilpotens – következésképpen a nilradikál valóban ideál. A definíciót úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a nilradikál a ideál radikálja (ekkor automatikusan adódik, hogy maga is ideál).

Belátható, hogy a nilradikál megegyezik a gyűrű prímideáljainak metszetével (és így megegyezik a minimális ideálok metszetével is). Mivel minden maximális ideál prím, a maximális ideálok metszeteként kapott Jacobson-radikál tartalmazza a nilradikált. Egy gyűrűt Jacobson-gyűrűnek nevezünk, ha minden prímideálra

.

Minden Artin-gyűrű Jacobson, és nilradikálja a gyűrű maximális nilpotens ideálja. Általában ha a nilradikál végesen generált (például mert a gyűrű Noether-gyűrű), akkor nilpotens.

Egy gyűrűt redukált gyűrűnek nevezünk, ha nincs nemnulla nilpotens eleme, azaz nilradikálja . Tetszőleges kommutatív gyűrűre az

faktorgyűrű redukált.

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Nilradical of a ring című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.