Noether-gyűrű

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikában, azon belül a gyűrűelméletben a Noether-gyűrű olyan gyűrű, amiben az ideálokra teljesül a maximumfeltétel, azaz ideálok bármely

felszálló lánca stabilizálódik, vagyis létezik olyan , hogy

.

Ha a maximumfeltétel csak bal- illetve jobbideálokra igaz, akkor bal- illetve jobb-Noether-gyűrűről beszélünk. A fogalom Emmy Noetherről van elnevezve. Általánosítása a Noether-modulus: egy gyűrű akkor és csak akkor Noether-gyűrű, ha önmaga feletti modulusként Noether-modulus.

Ekvivalens definíciók[szerkesztés]

A következő definíciók a Noether-tulajdonsággal ekvivalensek:

  • Az ideálokra teljesül a maximumfeltétel.
  • Ideálok egy tetszőleges halmazában van maximális elem.
  • Minden ideál végesen generált.

A feltételek megfelelően átfogalmazhatók bal- illetve jobbideálokra, így a bal- illetve jobb-Noether-tulajdonsággal ekvivalens feltételeket adva.

Cohen egy eredménye szerint kommutatív gyűrűkben ezekkel ekvivalens az a látszólag gyengébb kritérium, hogy minden prímideál végesen generált.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Ha Noether-gyűrű, akkor Hilbert bázistétele szerint is az. Indukcióval adódik, hogy is Noether.
  • Ha Noether-gyűrű, akkor is az.
  • Ha Noether és kétoldali ideál, akkor az faktorgyűrű is Noether. Ekvivalens megfogalmazás: Noether-gyűrű homomorf képe Noether.
  • Kommutatív Noether-gyűrű felett végesen generált kommutatív algebra is Noether.
  • Egy gyűrű bal-Noether, ha bármely végesen generált -balmodulus Noether-modulus. (Ugyanúgy jobb-Noether-gyűrűre jobbmodulusokkal.)
  • Kommutatív Noether-gyűrű lokalizáltja Noether-gyűrű.
  • Az Akizuki–Hopkins-tétel szerint minden (bal-)Artin-gyűrű (bal-)Noether-gyűrű. Továbbá egy bal-Artin-gyűrű akkor és csak akkor jobb-Noether, ha jobb-Artin. (Ugyanígy bal és jobb felcserélésével.)

Példák, ellenpéldák[szerkesztés]

  • Minden test Noether: csak két ideálja van, és önmaga, így a maximumfeltétel triviálisan teljesül.
  • Minden főideálgyűrű, például a racionális egészek Noether, mert minden ideált egyetlen (és így véges sok) elem generálja.
  • Minden Dedekind-gyűrű Noether, mert minden ideál generálható legfeljebb két (és így véges sok) elemmel.
  • Test vagy felett véges sok változójú polinomgyűrű Noether.

Ahhoz, hogy egy gyűrű ne legyen Noether-tulajdonságú, bizonyos értelemben „nagy” kell legyen. A következő gyűrűk nem Noether-gyűrűk:

  • Végtelen sok változójú polinomgyűrű:
megsérti a maximumfeltételt.
megsérti a maximumfeltételt.
  • Az folytonos függvények gyűrűje: ha minden -re
,
akkor az
lánc megsérti a maximumfeltételt.

Érdemes kiemelni, hogy egy nem-Noether-gyűrű lehet részgyűrűje egy Noether-gyűrűnek. Például az algebrai egészek gyűrűje részgyűrű a komplex számok testében.

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Noetherian ring című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.