Maximális ideál
Megjelenés
Egy maximális ideál az algebrában, azon belül a gyűrűelméletben egy olyan ideál, ami a valódi ideálok között tartalmazásra nézve maximális.
Definíciók
[szerkesztés]Legyen egy gyűrű és egy valódi ideál. Ekkor maximális kétoldali ideál, ha a következő ekvivalens tulajdonságok teljesülnek:
- Nem létezik olyan valódi ideál, hogy .
- Minden ideálra -ből következik, hogy vagy .
- Az faktorgyűrű egyszerű.
Analóg módon definiálhatók a egyoldali maximális ideálok is; a következőkben csak a jobboldali definíciók szerepelnek. Legyen egy jobbideál. Ekkor jobboldali maximális ideál, ha a következő ekvivalens feltételek teljesülnek:
- Nem létezik olyan valódi jobbideál, hogy .
- Minden jobbideálra -ből következik, hogy vagy .
- Az faktormodulus egyszerű.
Az egy- illetve kétoldali maximális ideálok fogalma a minimális ideálok fogalmának duálisa.
Példák
[szerkesztés]- Testekben az egyetlen maximális ideál .
- A polinomgyűrű maximális ideáljai az elemek által generált főideálok, ahol .
- A racionális egész számok gyűrűjében a maximális ideálok a prímszámok által generált főideálok.
- Általánosabban egy főidálgyűrű maximális ideáljai a nemnulla prímideálok.
- Egy algebrailag zárt test feletti polinomgyűrű maximális ideáljai az alakú ideálok (ez az úgynevezett gyenge Nullstellensatz).
Tulajdonságok
[szerkesztés]- Ha egységelemes kommutatív gyűrű és ideál, akkor akkor és csak akkor test, ha maximális ideál. Ilyenkor -t az maximális ideál maradéktestének nevezzük. Az állítás nem-egységelemes gyűrűkben nem igaz: maximális ideál, de nem test.
- Krull tétele: minden nemzéró egységelemes gyűrűben van maximális ideál. Az állítás igaz egyoldali ideálokra is.
- Kommutatív egységelemes gyűrűkben minden maximális ideál prímideál; a megfordítás általában nem igaz.
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Maximal ideal című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.