Maximális ideál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Egy maximális ideál az algebrában, azon belül a gyűrűelméletben egy olyan ideál, ami a valódi ideálok között tartalmazásra nézve maximális.

Definíciók[szerkesztés]

Legyen egy gyűrű és egy valódi ideál. Ekkor maximális kétoldali ideál, ha a következő ekvivalens tulajdonságok teljesülnek:

  • Nem létezik olyan valódi ideál, hogy .
  • Minden ideálra -ből következik, hogy vagy .
  • Az faktorgyűrű egyszerű.

Analóg módon definiálhatók a egyoldali maximális ideálok is; a következőkben csak a jobboldali definíciók szerepelnek. Legyen egy jobbideál. Ekkor jobboldali maximális ideál, ha a következő ekvivalens feltételek teljesülnek:

  • Nem létezik olyan valódi jobbideál, hogy .
  • Minden jobbideálra -ből következik, hogy vagy .
  • Az faktormodulus egyszerű.

Az egy- illetve kétoldali maximális ideálok fogalma a minimális ideálok fogalmának duálisa.

Példák[szerkesztés]

  • Testekben az egyetlen maximális ideál .
  • A polinomgyűrű maximális ideáljai az elemek által generált főideálok, ahol .
  • A racionális egész számok gyűrűjében a maximális ideálok a prímszámok által generált főideálok.
  • Általánosabban egy főidálgyűrű maximális ideáljai a nemnulla prímideálok.
  • Egy algebrailag zárt test feletti polinomgyűrű maximális ideáljai az alakú ideálok (ez az úgynevezett gyenge Nullstellensatz).

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Ha egységelemes kommutatív gyűrű és ideál, akkor akkor és csak akkor test, ha maximális ideál. Ilyenkor -t az maximális ideál maradéktestének nevezzük. Az állítás nem-egységelemes gyűrűkben nem igaz: maximális ideál, de nem test.
  • Krull tétele: minden nemzéró egységelemes gyűrűben van maximális ideál. Az állítás igaz egyoldali ideálokra is.
  • Kommutatív egységelemes gyűrűkben minden maximális ideál prímideál; a megfordítás általában nem igaz.

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Maximal ideal című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.