MacLaurin-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikában a MacLaurin-egyenlőtlenség, amit Colin Maclaurinről neveztek el, a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségnek egy finomítása. Legyenek pozitív valós számok, az átlag pedig:

, ahol .

Ennek a törtnek a számlálója az változók k-ad rendű elemi szimmetrikus polinomja, azaz az számok közül k-nak az összes szorzatából képezett összeg, ahol az indexek növekvő sorrendben vannak. A tört nevezője a számlálóban levő összeg tagjainak száma, vagyis (n,k) binomiális együtthatója.

MacLaurin egyenlőtlensége kijelenti, hogy a következő egyenlőtlenségek lánca igaz:

Az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha az összes egyenlő.

n=2-re megkapjuk két szám számtani és mértani középarányosának közismert egyenlőtlenségét.

n=4-re:

MacLaurin egyenlőtlensége Newton egyenlőtlenségeinek felhasználásával bizonyítható.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]