A Muirhead-egyenlőtlenség a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség általánosításaként ismert a matematikában, az előbbinél jóval több esetben használható.
Bármely valós vektor esetén
az x1,…,xn számok „a-közepe” [a] a következő:
![{\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi }x_{\pi _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\pi _{n}}^{a_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7562989a16b217dcbd19934e1f3dddeeb3bb296)
ahol az összeg az {1,…,n} számok minden π permutációjára kiterjed.
Két n dimenziós vektort, a-t és b-t tekintve, az összeg szimmetriája miatt feltehető, hogy
Minden x1,…,xn nemnegatív szám esetén, [a]≤[b] akkor és csak akkor, ha a következő állítások igazak:
Legyen a két vektor, a és b, a következő:
A fenti két vektorra teljesül a Muirhead-egyenlőtlenség, tehát bármilyen nemnegatív szám n-esre igaz, hogy [a]≤[b], hiszen
Ekkor tetszőleges x1,…,xn nemnegatív számok esetén
![{\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi }x_{\pi _{1}}^{\frac {1}{n}}\cdots x_{\pi _{n}}^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a3ffb38f9990cc5abba4074f438795af8a4662)
és
![{\displaystyle [b]={\frac {1}{n!}}\sum _{\pi }x_{\pi _{1}}^{1}x_{\pi _{2}}^{0}\cdots x_{\pi _{n}}^{0}={\frac {1}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b148158b143f46355e94c36af54951c888c4981f)
hiszen minden xi-t összeadunk (n-1)!-szor, majd elosztunk n!-sal, így minden számot 
-szer adunk az összeghez. Ezekből következik, hogy
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {1}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a66ee4173470d6ef722b1154f9ede56f5de3931)
