Möbius-féle megfordítási formula

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Möbius-féle megfordítási formula a matematikában, ezen belül a számelméletben a Möbius-függvény egyik legfontosabb tulajdonságát kimondó képlet. A klasszikus formulát a 19. században alkotta meg August Ferdinand Möbius.

Az állítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen f(n) számelméleti függvény. Definiáljuk a g(n) számelméleti függvényt a

g(n)=\sum_{d|n}f(d)

képlettel. Ekkor minden n-re

f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g\left(\frac{n}{d}\right)

teljesül.

Bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Felhasználjuk a

\sum_{d|n} \mu(d) = \delta(n)=\left\{\begin{matrix}1&\mbox{ ha } n=1\\
0&\mbox{ ha } n>1\end{matrix}\right.

tulajdonságot.

Eszerint

\sum_{d|n}\mu(d)g\left(\frac{n}{d}\right)=
\sum_{d|n}\mu(d) \sum_{d'|\frac{n}{d}} f(d')=\sum_{d'|n}f(d')\sum_{d|\frac{n}{d'}}\mu(d)=
\sum_{d'|n}f(d')\delta\left(\frac{n}{d'}\right)=f(n).