Dirichlet-konvolúció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Dirichlet-konvolúció a matematikában egy két operandusú művelet a számelméleti függvényeken. A német Peter Gustav Lejeune Dirichlet kezdte el felhasználni a számelméletben.

Definíció[szerkesztés]

Ha f és g számelméleti függvények, akkor Dirichlet-konvolúciójuk fg, ahol

és az összegzés végigfut n pozitív osztóin, vagy ekvivalensen az (a, b) pozitív számpárokon, melyeknek szorzata n.

Tulajdonságai[szerkesztés]

A számelméleti függvények halmaza egységelemes kommutatív gyűrűt alkot a pontonkénti összeadásra és a Dirichlet-konvolúcióra. Ez a Dirichlet-gyűrű. A gyűrű egységeleme az az ε függvény, ami 1-ben 1-et, a többi helyen 0-t vesz fel. A gyűrű egységei, azaz invertálható elemei azok a számelméleti függvények, amelyek 1-ben nullától különböző értéket vesznek fel.

Speciálisan, a Dirichlet-konvolúció asszociatív:

(fg) ∗ h = f ∗ (gh),

disztributív az összeadásra

f ∗ (g + h) = fg + fh = (g + h) ∗ f,

kommutatív

fg = gf,

és egységeleme a fent definiált ε:

fε = εf = f.

Továbbá, ha f olyan számelméleti függvény, hogy f(1) ≠ 0, akkor van egy g számelméleti függvény, hogy 1=fg = ε. Ez az f függvény Dirichlet-inverze.

Két multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív, továbbá a multiplikatív függvény invertálhatók, és inverzük is multiplikatív.

Ha f teljesen multiplikatív, akkor 1=f(gh) = (fg) ∗ (fh), ahol a melléírás a pontonkénti szorzást jelöli. Két teljesen multiplikatív függvény Dirichlet-konvolúciója multiplikatív, de nem mindig teljesen multiplikatív.

Példák[szerkesztés]

Ezekben a képletekben

ε a Dirichlet-konvolúció identitásfüggvénye. (ε(1) = 1, a többi értéke 0.)
1 a konstans 1 minden n-re. (1(n) = 1.) Fontos megjegyezni, hogy 1 nem az identitás.
1C, ahol az indikátorfüggvények halmaza. (1C(n) = 1 ha nC, 0 különben.)
Id az identitásfüggvény n. (Id(n) = n.)
Idk a k. hatványfüggvény. (Idk(n) = nk.)
  • 1 ∗ μ = ε   (a konstans 1 függvény Dirichlet-inverze a Möbius-függvény.) Ennélfogva
  • g = f ∗ 1 akkor és csak akkor, ha 1=f = gμ   (a Möbius megfordítási formula).
  • λμ = ε   ahol λ a Liouville-függvény.
  • λ ∗ 1 = 1Sq   ahol Sq = {1, 4, 9, ...} a négyzetszámok halmaza
  • Idk ∗ (Idk μ) = ε
  • σk = Idk ∗ 1   a σk osztóösszeg-függvény
  • σ = Id ∗ 1   az 1=σ = σ1 függvény definíciója
  • d = 1 ∗ 1   az 1=d(n) = σ0 függvény definíciója
  • Idk = σkμ   a σk, σ, és d Möbius-inverziója
  • Id = σμ
  • 1 = dμ
  • d3 ∗ 1 = (d ∗ 1)2
  • φ ∗ 1 = Id  
  • Jk ∗ 1 = Idk   A Jordan-függvény.
  • (IdsJr) ∗ Js = Js + r
  • σ = φd   Bizonyítás: Konvolváljuk 1-et az Id = φ ∗ 1 egyenlet két oldalával.
  • Λ ∗ 1 = log   ahol Λ a von Mangoldt-függvény.

Dirichlet-inverz[szerkesztés]

Ha f számelméleti függvény, akkor Dirchlet-inverze rekurzívan számítható a definíció alapján.

n = 1 esetén:

(fg) (1) = f(1) g(1) = ε(1) = 1, így
g(1) = 1/f(1). Eszerint, ha f(1) = 0, akkor az inverz nem létezik.

n = 2-re:

(fg) (2) = f(1) g(2) + f(2) g(1) = ε(2) = 0,
g(2) = −1/f(1) (f(2) g(1)),

n = 3-ra:

(fg) (3) = f(1) g(3) + f(3) g(1) = ε(3) = 0,
g(3) = −1/f(1) (f(3) g(1)),

n = 4-re:

(fg) (4) = f(1) g(4) + f(2) g(2) + f(4) g(1) = ε(4) = 0,
g(4) = −1/f(1) (f(4) g(1) + f(2) g(2)),

Általában, n > 1-re:

Mivel a számítás során csak f(1)-gyel kell osztani, azért az invertálhatóság egyetlen kritériuma az, hogy f(1) ≠ 0.

Táblázat ismert szám, elméleti függvények Dirichlet-inverzéről:

Számelméleti függvény Dirichlet-inverz
Konstans 1 függvény μ Möbius-függvény
λ Liouville-függvény μ| abszolút értéke

Dirichlet-sor[szerkesztés]

Ha f számelméleti függvény, akkor Dirichlet-sorának generátorfüggvénye

azokra a komplex s argumentumokra, amelyekre a függvény konvergál. A Dirichlet-sorok szorzása illeszkedik a számelméleti függvények konvolúciójához:

minden olyan s-re, amire mindkét bal oldali sor konvergál, és legalább az egyik abszolút konvergens. Mindkét sor egyszerű konvergenciája ugyanis nem biztosítja a jobb oldal konvergenciáját. Ez a konvolúciótétel analogonja, ha a Dirichlet-sort megfeleltetjük a Fourier-sornak.

Források[szerkesztés]

  • „A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion”, 13–23. oldal 
  • „Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer”, 66–80. oldal 
  • „The number of unitary divisors of an integer”, 879–880. oldal 
  • „On an integers' infinitary divisors”, 395–411. oldal 
  • „Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer”, 373–383. oldal 
  • (2003) „The Möbius function: generalizations and extensions”. Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang) 6, 77–128. o.  
  • Unitarism and Infinitarism, 2004