A Lindemann–Weierstrass tétel kimondja, hogy az Euler-féle szám, más néven az e szám transzcendens. A tétel bizonyítható az e szám irracionális voltának bizonyításához hasonló módon.
Az α valós szám erősen approximálható, ha minden ε>0-hoz van u és v egész szám, és egy |δ| < ε szám, hogy
Minden ilyen α valós szám irracionális. Fordítva ez az összefüggés nem teljesül, mivel az ilyen számok megszámlálhatóan sokan vannak.
A tétel bizonyítása szimultán approximálja az e számot és annak pozitív egész kitevős hatványait, az irracionalitás bizonyításához hasonló ellentmondásra jut az e szám minimálpolinomjával kapcsolatban.
A bizonyítás vázlata
- Feltesszük indirekt, hogy az e szám algebrai, és minimálpolinomját jelöljük t-vel:
,
ahol
és
egyike sem nulla, hiszen t irreducibilis.
- Szimultán erősen approximáljuk az e szám hatványait, vagyis adott ε-hoz keresünk
egészeket, hogy
minden 1 ≤ k ≤ m -re.
- Az approximáció eredményét behelyettesítve
Átrendezve
- Az így kapott összeg első tagja egész. Elég azt belátnunk, hogy a második tag abszolút értékben
-nél kisebb. Ellentmondás.
Lemmák
1. Minden k ≥ 0 egészhez vannak gk és hk polinomok, hogy
![{\displaystyle \int _{0}^{r}x^{k}e^{-x}\operatorname {d} x=k!-e^{-r}g_{k}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a6170d5234d5d990fddf1201e02ec12720d508)
- és
.
2. Minden f(x) polinomhoz egyértelműen van egy u valós szám és egy g(x) polinom, hogy
![{\displaystyle \int _{0}^{r}f(x)e^{-x}\operatorname {d} x=u-e^{-r}g(r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a516b3174a025dbdf18bef6ed64a618bf52e8470)
- minden valós r számra.
3. Legyen az f(x) polinom a következő:
.
- Jelölje ezután u és g(x) a 2. lemma szerint az ehhez az f(x)-hez tartozó u-t és g(x)-et! Legyen továbbá ur=g(r) és
!
Ezekkel a jelölésekkel ha átírjuk az f(x) polinomot (x-r) hatványai szerint:
![{\displaystyle f={\frac {1}{(p-1)!}}(d_{0}(r)+d_{1}(r)(x-r)+\dots d_{n}(x-r)^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1e32d9dc5275acd23dd7a83c634292caa52d41a)
- akkor d0(r)=d1(r)=…=0.
4. (a) Az u szám egész, és nincs m-nél nagyobb prímosztója.
- (b) Az u1, …, um egészek mind oszthatók p-vel.
5. A fent definiált f polinomra
.
A tétel bizonyítása
Feltesszük indirekt, hogy e algebrai, és minimálpolinomja
.
A
polinomhoz a 2. lemma szerint elkészítjük az u számot és a g polinomot. A 3. lemma miatt
, ahol p az f-hez használt prím, továbbá
,
ahonnan
,
ezzel kész a szimultán erős approximáció.
A minimálpolinomba visszahelyettesítve
Ha most p > m, akkor a 4. lemma szerint p nem lehet osztója az u egész számnak. Ha p még c0-nál is nagyobb, akkor c0u sem lehet osztható p-vel, így a c0u+c1u1+...+cmum egész számnak sem osztója, tehát ez az összeg nem lehet nulla. Az 5. lemma alapján az c1ε1+...+cmεm összeg abszolút értéke viszont 1/2-nél kisebb, ezért az összeg nem lehet nulla. Ellentmondás.
Források