Konjunkció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikai logikában konjunkció vagy más néven logikai és alatt egy olyan kétváltozós logikai műveletet értünk, amelynek a logikai értéke pontosan akkor igaz, ha mind a két operandusának igaz a logikai értéke. Jelben

igaz akkor és csak akkor, ha igaz, és is igaz.

A művelet jele többnyire , de előfordul is. Ez utóbbi a szorzással való kapcsolatára utal.

Kapcsolódó fogalmak:

  • A hálókban a legnagyobb alsó korlát.
  • Halmazelméletben a metszet művelet.
  • A predikátumlogikában az univerzális kvantor.
  • A programozásban a rövidzáras és (and).

Jelölés[szerkesztés]

A konjunkciót rendszerint infix operátor jelöli. A matematikai logikában , & vagy × ; az elektronikában ; programozási nyelvekben &, &&, vagy and. A Jan Łukasiewicz által bevezetett lengyel jelölésben a konjunkció jele K, a lengyel koniunkcja szóból.[1]

Definíció[szerkesztés]

A p és q ítéletek konjunkcióját a következő igazságtáblázat definiálja:

p q
igaz igaz igaz
igaz hamis hamis
hamis igaz hamis
hamis hamis hamis

ahol a konjunkció jele.

A konjunkció egységelme az igaz, ami azt jelenti, hogy az és műveletet az igaz elemmel elvégezve visszakapjuk a másik elemet. Így értelmezhető az üres konjunkció, és annak értéke igaz.

Azokban a rendszerekben, ahol a konjunkció nem primitív elem, ott definiálható, mint:[2]

vagy

Tulajdonságai[szerkesztés]

Tetszőleges ítéletek esetén teljesülnek a következő állítások:

  • A diszjunció disztributív a konjunkcióra, azaz
  • A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek az elnyelési tulajdonságok (abszorptivitás), azaz
, és
  • A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek a De Morgan azonosságok, azaz
, és
  • Végül fennáll a dualitás elve, azaz ha felcseréljük a konjunkciót és a diszjunkciót, valamint az igaz és a hamis logikai konstansokat, akkor az állítás igazságértéke megmarad.

Venn-diagram[szerkesztés]

"A és B" Venn-diagramja (a piros rész az igaz rész konjunkció esetén)

A és B

Három elem, "A, B és C" konjunkciójának Venn-diagramja (a piros rész az igaz rész konjunkció esetén)

A többértékű logikákban[szerkesztés]

A többértékű logikákban a konjunkciót a permanenciaelv szerint úgy terjesztik ki, hogy minél több tulajdonságát megőrizzék. Ezek közül a legfontosabb az asszociativitás és a kommutativitás. Egy többértékű konjunkciónak ezeknek a tulajdonságoknak kell eleget tennie:

  • Kommutativitás:
  • Asszociativitás:
  • Monotónia:
  • Egységelem:

További értelmes, de nem szükséges tulajdonságok a folytonosság és az idempotencia.

A három értékű logikákban bevezethetők például a következő konjunkciók:

Jan Łukasiewicz Ł3 logikájában (1920) a konjunkció kiterjesztése a minimumfüggvény:

1 1 1
1 0,5 0,5
1 0 0
0,5 1 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0 0
0 1 0
0 0,5 0
0 0 0

Dimitri Analtoljewitsch Bočvar (1938) B3 logikájában:

1 1 1
1 0,5 0,5
1 0 0
0,5 1 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0 0,5
0 1 0
0 0,5 0,5
0 0 0

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Józef Maria Bocheński (1959), A Précis of Mathematical Logic, translated by Otto Bird from the French and German editions, Dordrecht, North Holland: D. Reidel, passim.
  2. Smith, Peter: Types of proof system

Források[szerkesztés]