Logikai művelet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

Logikai műveletek alatt az ítéletkalkulus ítéletein definiált műveleteket értünk, amelyek segítségével az ítéletekből újabb, összetett ítéleteket alkothatunk. Az így képezett összetett ítéletek igazságértéke pedig egyértelműen meghatározható a kiindulási ítéletek igazságértékeiből.

A logikai művelet, mint általános fogalom, számtalan különféle néven fordul elő a szakirodalomban. A szerzők beszélnek pl. logikai függvényekről, igazságfüggvényekről, logikai operátorokról (ezek közé általában a kvantorokat is beleértve), vagy - ritkábban - junktorokról.

A legáltalánosabban használt logikai műveletek a negáció, a konjunkció, a diszjunkció, az implikáció és az ekvivalencia. A logikai műveleteket két nagy csoportba osztjuk: a formális logika és a szimbolikus logika. A formális logika célja a helyes következtetések levonása. A szimbolikus logika szimbólumokat használ:

  • Igaz = i, felfelé mutató nyíl, 1, T
  • Hamis = h, lefelé mutató nyíl, 0, F


Egyváltozós logikai műveletek[szerkesztés]

Négy egyváltozós logikai művelet van, hiszen attól függően, hogy a kiinduló állítás igaz vagy hamis, az eredmény is igaz vagy hamis lehet. tehát a kiinduló állítás igaz és hamis értékéhez is két lehetőség van, ami összesen 2 × 2 = 4 lehetőség.

A
I A ¬A H
igaz i i h h
hamis i h i h

Az 1. művelet és a 4. művelet értéke mindenütt ugyanaz, vagyis ez a két művelet konstans függvény, ezek valójában nullaváltozós műveletek. Valódi egyváltozós művelet a 2. és a 3. (a 2. a függvényhez saját magát rendeli, a 3. pedig a negáltját).

Negáció[szerkesztés]

A negáció (tagadás) egyváltozós logikai művelet; egy állításhoz hozzárendel egy másik állítást, melynek igazságértéke az eredeti ellentettje.

Például: a "szeretem a kutyákat" állításhoz a "nem igaz, hogy szeretem a kutyákat" állítást rendeli hozzá. Fontos kiemelni, hogy a "szeretem a kutyákat" negáltja nem a "nem szeretem a kutyákat", hiszen az utóbbi csak a szeretet mértékét negálja. Holott, ha nem igaz, hogy "szeretem a kutyákat", akkor lehet, hogy nem szeretem őket, de az is lehet, hogy közömbös vagyok az irányukban.

A nem szócskával a negáció ellenkezőjére változtatja az állítás logikai értékét. A negáció (tagadás) jele: ¬ (olvasd: nem). A ¬A állítás akkor igaz, amikor az A állítás nem igaz, és akkor nem igaz, amikor az A állítás igaz.

Értéktáblázata:

A
igaz hamis
¬A h i

Kétváltozós logikai műveletek[szerkesztés]

16 kétváltozós logikai művelet van, ugyanis a kétváltozós logikai műveletek két állításhoz rendelnek hozzá egy harmadikat, a két kiinduló állítás mindegyike kétféle logikai értéket vehet föl, ami összesen 4 lehetőséget jelent:

igaz, igaz;
igaz, nem igaz;
nem igaz, igaz;
nem igaz, nem igaz;

A kiinduló állítás négy lehetősége mindegyikéhez az eredmény kétféle (igaz vagy hamis) lehet, ez összesen 2 × 2 × 2 × 2 = 16 lehetőség.

A | B Kétváltozós logikai műveletek
1 A ∨ B A → B B B → A A A ↔ B A ∧ B N ¬(A∨B) ¬(A→B) ¬B ¬(B→A) ¬A ¬(A↔B) ¬(A∧B)
igaz, igaz i i i i i i i i h h h h h h h h
hamis, igaz i i i i h h h h h h h h i i i i
igaz, hamis i i h h i i h h h h i i h h i i
hamis, hamis i h i h i h i h h i h i h i h i
A fent látható A és B állítással végezhető kétváltozós logikai műveletek értéktáblázata (a táblázatban i-vel jelöljük az igaz logikai értéket, h-val a hamis logikai értéket.

Az 1. művelet és a 9 művelet értéke mindenütt ugyanaz, vagyis ez a két művelet konstans függvény, ezek valójában nullaváltozós műveletek.

A 4., a 6., a 12. és a 14. egyváltozós műveletek.
Valóban kétváltozós műveletek a 2., a 3., az 5., a 7., a 8., a 10., a 11., a 13., a 15. és 16.

Konjunkció[szerkesztés]

Logikai és, jele ˄. Kétváltozós logikai művelet, az eredménye csak akkor igaz, ha A és B is igaz.

A | B
hamis igaz
hamis h h
igaz h i

Diszjunkció[szerkesztés]

Jele: v A vagy művelet ( Diszjunkció) akkor hamis ha mindkét részállítás hamis. A többi esetben viszont igaz. Logikai vagy (megengedő vagy). Kétváltozós logikai művelet, az eredménye akkor igaz, ha A vagy B vagy A és B igaz.

A | B
hamis igaz
hamis h i
igaz i i

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Dienes Zoltán: Building up Mathematics, Hutchinson Educational Ltd, (1960)
  • Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika Logika algebra kombinatorika, Polygon, Szeged (1994)