Hasított komplex számok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Hasított-komplex szorzás
× 1 j
1 1 j
j j 1

Az absztrakt algebrában a hasított komplex számok (hiperbolikus számok, perplex számok, kettős számok) a komplex számokhoz hasonlóan valós és képzetes részből állnak, de itt a képzetes egység négyzete nem -1, hanem 1. Jelben z konjugáltja z* = x - y j. Mivel j2 = +1, , izotropikus kvadratikus alak,

A hasított komplex számok halmazát D jelöli, ami a szokásos műveletekkel gyűrű a valós számok fölött. Ha w és z hasított komplex számok, akkor szorzatuk eleget tesz az egyenlőségnek. N kompozíciós tulajdonsága a szorzásra kompozíciós algebrává teszi a ( D , +, ×, * ) testet.

Az R2 vektortér hasonló struktúrát alkot a komponensenkénti műveletekkel és a kvadratikus alakokkal. Ez a struktúra (R2, +, ×, xy), ami kvadratikus tér. A : gyűrűizomorfizmus arányosan viszonyítja a kvadratikus alakokat, de ez a leképezés nem izometria, mivel R2-ben az (1,1) egység távolsága a nullától √2, ami normalizálva van D -ben.

Definíció[szerkesztés]

A hasított komplex számok alakja

ahol x és y valós számok, j pedig olyan, hogy

és j független a valós számoktól és a komplex számok képzetes egységétől. Az választás a komplex számokhoz vezet.

Az asszociált bilineáris alak

ahol z = x + jy és w = u + jv. A modulus ekvivalens alakja

Mivel nem pozitív definit, nem skalárszorzat; ennek ellenére indefinit skalárszorzatnak is nevezik. Egy másik, a matematikai igényességgel össze nem férő szóhasználat normaként hivatkozik a modulusra.

A hasított komplex számok halmazát hasított komplex síknak nevezik. Az összeadás és a szorzás így végezhető:

Mindkét művelet kommutatív, asszociatív, és a szorzás disztributív az összeadásra.

Konjugált, modulus, invertálhatóság[szerkesztés]

Ahogy a komplex számoknál, úgy a hasított komplex számoknál is definiálható a konjugált. A

hasított komplex szám konjugáltja

Tulajdonságai hasonlítanak a komplex konjugálthoz. Azaz

Az z = x + jy hasított komplex szám modulusa az izotropikus kvadratikus alakkal számítható:

Kompozíciós algebra tulajdonsága van:

Ennek szignatúrája (1, −1), ezért nem pozitív definit, így ez nem norma matematikai értelemben.

Egy hasított komplex szám invertálható akkor és csak akkor, ha (), így az x ± jx alakú hasított komplex számoknak nincs inverze. A nem invertálható elemeket null vektoroknak nevezik. Az invertálható elemek multiplikatív inverze:

Átlós bázis[szerkesztés]

Az e = (1 − j)/2 és az e = (1 + j)/2 elemek a gyűrű nem triviális idempotens elemei. Ez azt jelenti, hogy ee = e és ee = e. Mindkét elem null:

Gyakran kényelmes az e és e elemekből alkotott bázist használni. Ennek elnevezése null bázis vagy átlós bázis. Ha z hasított komplex szám, akkor a null bázisban:

Ha az a és a b számokra a z = ae + be számot (a, b) jelöli, akkor a hasított komplex szorzás

Ez a bázis megmutatja, hogy a hasított komplex számok az RR vektortérrel gyűrű izomorfizmusban állnak.

A konjugálás eredménye:

és a modulus:

Habár a gyűrűknek ugyanabba az izomorfizmusosztályába tartoznak, a hasított komplex sík és a direkt összeg lényegesen különbözik egymástól Az izomorfizmus egy 45 fokos forgatás és egy négyzetgyök kettővel való nyújtás egymásutánja. Ez utóbbi néha zavart okoz a hiperbolaszeletek területének kiszámításában. A hiperbolikus szög megfelel az szektorainak területével, ahol Az összenyomott egységkör, területe fele a megfelelő hiperbolikus szektor területének. A zavart csak fokozza, ha nem különböztetik meg a két gyűrű geometriáját.

Geometria[szerkesztés]

Egységhiperbola, ||z||=1 (kékkel),
konjugált hiperbolája ||z||=−1 (zölddel),
és aszimptotái, ||z||=0 (pirossal)

A kétdimenziós valós vektortér a Minkowski-féle skalárszorzattal ellátva (1 + 1) dimenziós Minkowski-teret alkot, amit gyakran R1,1 jelöl. Ahogy az euklideszi sík, R2 geometriája leírható a komplex számokkal, úgy a Minkowski-tér geometriája, R1,1 leírható a hasított komplex számokkal.

Az

pontok halmaza hiperbola, minden a eleme R esetén. Jobb és bal ága rendre átmegy a (a, 0) és a (−a, 0) pontokon. Az a = 1 esetben ez az egységhiperbola. A konjugált hiperbola

aminek felső és alsó ága rendre a (0, a) és a (0, −a) pontokon halad át. A hiperbolát és konjugált hiperboláját átlós egyenesek választják el, amelyek null elemekből állnak:

A két egyenes, amit null kúpnak is neveznek, merőleges R2-ben, és meredekségük ±1.

Ha z és w hasított komplex számok, akkor ortogonálisak, ha <z, w> = 0. Két ortogonális hasított komplex szám bázist alkot.

Az Euler-formulához hasonló formula a hasított komplex számokra is értelmezhető:

Ez származtatható a hatványsorokból, mivel sh hatványsorában csak páratlan, ch hatványsorában csak páros fokú tagok együtthatója különbözik nullától.

Minden θ hiperbolikus szögre a λ = exp() hasított komplex szám modulusa 1, és az egységhiperbola jobb ágán helyezkedik el. Ezek a 'λ' számok hiperbolikus versorok. A velük való szorzás hiperbolikus forgatásnak felel meg, mivel modulusuk 1. Ez megőrzi a geometriai szerkezetet, hiperbolát hiperbolába visz, és a null kúpot is megőrzi.

A modulust megőrző transzformációk csoportot alkotnak, ez az O(1, 1) általános ortogonális csoport. Ennek részcsoportja SO+(1, 1), ami az 1 modulusú hasított komplex számokkal való szorzást jelenti. Az általános ortogonális csoport ebből úgy kapható, ha bővítünk az

és diszkrét tükrözésekkel.

A z

leképezés a θ hasított komplex számot az exp()-val való forgatásba küldi. Ez csoportizomorfizmus, mivel a szokásos exponenciális formulával:

Ha a z hasított komplex szám nem nullelem, akkor z-nek van poláris felbontása.

Algebra[szerkesztés]

A hasított komplex számok az absztrakt algebrai leírásban az R[x] polinomgyűrű és az x2 − 1 által generált ideál hányadosgyűrűje, R[x]/(x2 − 1).

Ebben a megfeleltetésben az x határozatlan képe a j képzetes egység. Ebben a megfogalmazásban azonnal látható, hogy a hasított komplex számok gyűrűje kommutatív, és karakterisztikája 0. A skalárral szorzást a szokott módon definiálva kétdimenziós asszociatív algebrát kapunk a valós számok fölött. Habár egységelemes, ez a gyűrű nem integritási tartomány vagy test a nullosztók miatt. Mivel az összeadás és a szorzás folytonos a sík szokásos topológiájával, ezért ezzel a topológiával topologikus gyűrűt alkot.

A hasított számok algebrája kompozíciós algebrát alkot, mivel :  minden z és w hasított komplex számra.

A definíció alapján nyilvánvaló, hogy izomorf az R[C2] gyűrűvel, ahol C2 ciklikus csoport a valós számok fölött.

Mátrix reprezentáció[szerkesztés]

Kommutatív diagram a hiperbolikus versor hatásával a D gyűrűn a σ leképezésre R2-en

A reprezentálható, mint

A reprezentációban a műveletek a mátrixokkal végzett műveleteknek felelnek meg. A modulus éppen a mátrix determinánsa. A konjugálás a

mátrixszal vett kétoldali szorzás.

Bármely valós a számra az a hiperbolikus szöggel való forgatás leírható a

mátrixszal végzett szorzással.

Ha a hasított komplex számot az (x, y) pár jelzi, akkor az átlós bázisra való áttérés:

Most a kvadratikus alak Továbbá

így két paraméterezett hiperbola hozható kapcsolatba S-sel. Így az hiperbolikus verzor hatása az

hasonlósági transzformációnak felel meg.

Jegyezzük meg, hogy a hasított komplex számoknak már a 2 x 2-es mátrixok körében is léteznek más reprezentációi. A fenti átlós prezentáció a hasított komplex számok fenti reprezentációja Jordan-normálalakban. A z = (x, y) hasított komplex szám esetén:

Jordan-normálalakja:

ahol és

Források[szerkesztés]

  • Bencivenga, Uldrico (1946) "Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo", Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli, Ser (3) v.2 No7. MR0021123.
  • Benz, W. (1973)Vorlesungen uber Geometrie der Algebren, Springer
  • N. A. Borota, E. Flores, and T. J. Osler (2000) "Spacetime numbers the easy way", Mathematics and Computer Education 34: 159-168.
  • N. A. Borota and T. J. Osler (2002) "Functions of a spacetime variable", Mathematics and Computer Education 36: 231-239.
  • K. Carmody, (1988) "Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions", Appl. Math. Comput. 28:47–72.
  • K. Carmody, (1997) "Circular and hyperbolic quaternions, octonions, and sedenions – further results", Appl. Math. Comput. 84:27–48.
  • William Kingdon Clifford,Mathematical Works (1882) edited by A.W.Tucker,pp. 392,"Further Notes on Biquaternions"
  • V.Cruceanu, P. Fortuny & P.M. Gadea (1996) A Survey on Paracomplex Geometry, Rocky Mountain Journal of Mathematics 26(1): 83–115, link from Project Euclid.
  • De Boer, R. (1987) "An also known as list for perplex numbers", American Journal of Physics 55(4):296.
  • Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) Geometry of Generalized Complex Numbers, Mathematics Magazine 77(2):118–29.
  • F. Reese Harvey. Spinors and calibrations. Academic Press, San Diego. 1990. ISBN 0-12-329650-1. Contains a description of normed algebras in indefinite signature, including the Lorentz numbers.
  • Hazewinkle, M. (1994) "Double and dual numbers", Encyclopaedia of Mathematics, Soviet/AMS/Kluwer, Dordrect.
  • Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras, pp 66, 157, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 Sablon:Mr
  • C. Musès, "Applied hypernumbers: Computational concepts", Appl. Math. Comput. 3 (1977) 211–226.
  • C. Musès, "Hypernumbers II—Further concepts and computational applications", Appl. Math. Comput. 4 (1978) 45–66.
  • Olariu, Silviu (2002) Complex Numbers in N Dimensions, Chapter 1: Hyperbolic Complex Numbers in Two Dimensions, pages 1–16, North-Holland Mathematics Studies #190, Elsevier ISBN 0-444-51123-7.
  • Poodiack, Robert D. & Kevin J. LeClair (2009) "Fundamental theorems of algebra for the perplexes", The College Mathematics Journal 40(5):322–35.
  • Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry, translated by E. Primrose from 1963 Russian original, Academic Press, pp. 18–20.
  • J. Rooney.szerk.: Marco Ceccarelli and Victor A. Glazunov: Generalised Complex Numbers in Mechanics, Advances on Theory and Practice of Robots and Manipulators: Proceedings of Romansy 2014 XX CISM-IFToMM Symposium on Theory and Practice of Robots and Manipulators. Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-07058-2_7 (2014). ISBN 978-3-319-07058-2 

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Split-complex number című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.