A matematikában a hányadosszabály egy módszer arra, hogyan lehet egy függvény deriváltját megtalálni, ahol a függvény két másik deriválható függvény hányadosa.[1][2][3]
Ha az
differenciálandó függvény felírható
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a3015775a256d35a32493d1322366b2e08458c)
alakban, ahol
,
akkor a szabály szerint a
deriváltja:
![{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45c7e05d3e8269911e3c725d6dc9e5e90021c7b)
Még pontosabban, ha egy nyílt halmazban minden x tartalmaz egy a számot, mely kielégíti a
feltételt, továbbá
és
létezik, akkor
is létezik, és
![{\displaystyle f'(a)={\frac {h(a)g'(a)-h'(a)g(a)}{[h(a)]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263ea677d55e218b40fb3e5fae297ce8080c5756)
Ez kiterjeszthető a második deriváltra is (ez bizonyítható ha kétszer vesszük a
deriváltját).
Az eredmény:
![{\displaystyle f''(x)={\frac {g''(x)[h(x)]^{2}-2g'(x)h(x)h'(x)+g(x)[2[h'(x)]-h(x)h''(x)]}{[h(x)]^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6601335bde8b0d82db27e24266a3b585250c88ca)
A hányadosszabály levezethető a szorzatszabályból, és a láncszabályból.
Példák
deriváltja:
.
A fenti példában:
![{\displaystyle g(x)=4x-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2fe77b47e1f2a1f8dfe05f9967376b80ed4ddb9)
![{\displaystyle h(x)=x^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a273c0fdf45f8ba60a95bc187ab74f4fad3bb36c)
Hasonlóképpen a sin(x)/x2 deriváltja (ha x ≠ 0):
![{\displaystyle {\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33a8c97afe86e4a2d3170778a2f956105def5b0)
Korlátok
A hányados-szabály nem használható olyan pontokban, ahol a számláló, vagy a nevező nem differenciálható. Az lehetséges, hogy a hányados differenciálható ezekben a pontokban:
Például, tekintsük a következő függvényt:
ahol |x|, x abszolút értéke.
A függvény értéke természetesen f(x) = 1, úgyhogy mindenhol differenciálható, és f'(0) = 0.
Ha megpróbáljuk a hányados-szabályt alkalmazni a f'(0)-ra, akkor egy definiálhatatlan érték jönne ki, mivel |x| nem differenciálható x = 0-nál.
Bizonyítás
Algebrai bizonyítás
A tétel algebrai bizonyítása[4]
Láncszabály alkalmazása
Tekintsük az alábbi egyenletet:
![{\displaystyle {\frac {u}{v}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4555ad7d9e766c049029537a2ffb87e52593033e)
majd:
![{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3230f86bb4053ec365b4a5395f0e022bdfbba2e7)
ez vezet a következő egyenlőségre:
.
A szorzások elvégzése után:
![{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[{\frac {4}{v}}{\frac {du}{dx}}-{\frac {4u}{v^{2}}}{\frac {dv}{dx}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84d0ecc7433bad875671fe1246d92d1b5cfa380)
végül közös nevezőre hozva megkapjuk az eredményt:
![{\displaystyle {\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {\left[v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}\right]}{v^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49667be4d37ce7ad1a348874e22737348a1d254f)
Szorzatszabály alkalmazása
A szorzatszabály szorzatok (2 vagy több függvény szorzatánál) deriváltjának kiszámítására használható.
Legyen
.
Kissé átírva:
A szorzatszabályt és a láncszabályt használva a differenciáláshoz:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=u'v^{-1}-v^{-2}uv'={\frac {u'}{v}}-{\frac {uv'}{v^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2276b3a2d7efa645628b6eff156f136c4187f0c7)
Megszorozva az első tört számlálóját és nevezőjét
-vel, kapjuk:
,
ami a hányadosszabály.
Irodalom
- James Stewart: Calculus: Early Transcendentals. 6th ed. (hely nélkül): Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5
- Ron Larson – Bruce H. Edwards: Calculus. 9th ed. (hely nélkül): Brooks/Cole. 2009. ISBN 0-547-16702-4
- Reiman István: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009
- Gerőcs L – Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883
Kapcsolódó szócikkek
Források