A valószínűségszámításban és statisztikában a valószínűségi változók függetlenek, ha ha az egyik értékének ismeretéből semmi információt sem lehet nyerni a másik lehetséges értékére. Formálisan, adva legyenek az
valószínűségi tér,
és
mértékterek, ekkor az
![{\displaystyle X_{1}:(\Omega ,{\mathcal {A}},P)\to (E_{1},\Sigma _{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2058e4d12c35bc42e50356c6edfce179df8a6edf)
és
![{\displaystyle X_{2}:(\Omega ,{\mathcal {A}},P)\to (E_{2},\Sigma _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e17e556ad283501b4ef786fa4048e5e68177def)
valószínűségi változók függetlenek, ha minden
és
esetén
.
A definíció több változóra is kiterjeszthető.
A valószínűségi változók függetlensége a valószínűségszámítás és statisztika lényegi eleme, ami események függetlensége és halmazrendszerek függetlenségét általánosítja. Több tétel, mint például a centrális határeloszlás tétele is elvárja. Vannak tételek, amelyekhez az összes valószínűségi változónak függetlennek kell lennie, de néhányhoz elég a páronkénti függetlenség.
Jelölések, alternatív definíció[szerkesztés]
A halmazokat többnyire kompaktabban jelölik, azaz
helyett inkább az
kifejezést írják. Ezzel a fenti definíció:
![{\displaystyle P(\{X_{1}\in B_{1},\,X_{2}\in B_{2}\})=P(\{X_{1}\in B_{1}\})\cdot P(\{X_{2}\in B_{2}\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43902d56c578d191813f6246cc8d9466bd41055)
minden
halmazra.
Alternatív definíció adható független események segítségével. Ekkor
![{\displaystyle A_{B_{1}}^{1}=\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f8d03e536fbf74d81d209611f33d0a6de21708)
.
Azaz ha
valószínűségi változók, akkor függetlenek, ha minden
halmazra
és
független események, tehát
![{\displaystyle P(A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2})=P(A_{B_{1}}^{1})P(A_{B_{2}}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14f270e28741c38b12c56e34bac0f589e9e78c0)
Legyen
eseménytér, ahol
mint alaphalmaz,
σ-algebra, és a valószínűségi mérték az egyenletes eloszlás. Legyen továbbá
és
. Állítjuk, hogy az
![{\displaystyle X_{1}(\omega )={\begin{cases}1&{\text{ ha }}\omega \in \{1,2\}\\0&{\text{ ha }}\omega \in \{3,4\}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6235833e1a3626c15c6f143af3844c16419730dc)
.
valószínűségi változók függetlenek.
Mindkét σ-algebrának négy eleme van:
, emiatt 16 kombinációt kellene megvizsgálni. Könnyen elintézhetők azok az esetek, amikor az egyik halmaz tartalmazza a másikat, hiszen minden halmaz független ezektől. Marad további négy lehetőség, ezekben
vagy
kombinálódik a következőkkel.
- Legyen
. Ekkor
és
továbbá
. Ezek az események függetlenek, mivel
:
- Legyen
. Ekkor
és
továbbá
. Ezek az események függetlenek, mivel
.
- Legyen
és
. Ekkor
és
továbbá
. Ezek az események függetlenek, mivel
.
- Legyen
és
. Ekkor
és
továbbá
. Ezek az események függetlenek, mivel
.
Ezzel minden esemény független, tehát a valószínűségi változók is.
Valószínűségi változók
egy családja, ahol
tetszőleges indexhalmazzal
független, ha teljesül indexek minden
részhalmazára, hogy
![{\displaystyle P\left(\bigcap _{j\in J}\{X_{j}\in B_{j}\}\right)=\prod _{j\in J}P(X_{j}\in B_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16495252fca183db73e02dc809283739c27a361a)
minden
esetén.
Halmazrendszerek függetlenségével is kiterjeszthető a definíció több változóra: Valószínűségi változók egy családja független, ha σ-algebráik függetlenek.
Ez a definíció a valószínűségi vektorváltozókra (amelyek
értékűek) is alkalmazható.[1] Nincsenek további követelmények a komponensekre.
A vizsgált halmazok száma csökkenthető, ha van ismert generátor. Ha minden σ-algebrához van
metszetstabil generátor, akkor
, tehát elegendő a generátorok függetlenségét vizsgálni. A kritérium így a következőre redukálódik:
![{\displaystyle P\left(\bigcap _{j\in J}\{X_{j}\in B_{j}\}\right)=\prod _{j\in J}P(X_{j}\in B_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16495252fca183db73e02dc809283739c27a361a)
minden
halmazra és minden
véges részhalmazára
-nek. Diszkrét valószínűségi terekben a generátorok többnyire a pontok, valós valószínűségi változók esetén a Borel-féle σ-algebra generátorai, a félig nyílt intervallumok.
Ha a valószínűségi változók, így indexhalmazuk is véges, például ha az indexhalmaz
, akkor elegendő, hogy
![{\displaystyle P\left(\bigcap _{i\in I}\{X_{i}\in B_{i}\}\right)=\prod _{i\in I}P(X_{i}\in B_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b954ede2732f63d3f9c15105cf041f931dff270)
minden
halmatra. Le lehet mondani a
részhalmazok vizsgálatáról. Ez következik abból, hogy
. A
eset automatikusan következik a fentiből, ha
-t helyettesítünk, ekkor
így a kijelentés a kisebb indexhalmazra is igaz.
Diszkrét valószínűségi változók véges családjai[szerkesztés]
A fenti két kritérium együtt is vizsgálható, amennyiben diszkrét valószínűségi változók véges családjairól van szó. Legyen
és legyenek az
valószínűségi változók
-beliek, és diszkrétek
szerint, tehát véges vagy megszámlálható végtelen számosságúak. Ekkor a valószínűségi változók függetlenek, ha
![{\displaystyle P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n}=x_{n})=\prod _{i=1}^{n}P(X_{i}=x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8977e8f7f6f5c43b1509c234f8334ee2e3d6c00d)
minden
esetén.
Valós valószínűségi változók diszkrét családjai[szerkesztés]
Valós értékű valószínűségi változók véges családjaira a következő kritérium adódik: Az
valószínűségi változók függetlenek, ha
![{\displaystyle P(X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{n}\leq x_{n})=\prod _{i=1}^{n}P(X_{i}\leq x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd84bfba65ce1c16b5c5e8646d12c3f408659d71)
minden
esetén. Ha az
függvények az
valószínűségi változók eloszlásfüggvényei, akkor
a közös eloszlásfüggvény, akkor az
valószínűségi változók függetlenek, ha
![{\displaystyle F_{I}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}F_{X_{i}}(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd4c1d0cf4cd3020f5eadb429a537a5ba1b6fc1)
teljesül. Ha az
valószínűségi változóknak van közös
sűrűségfüggvénye, akkor éppen akkor függetlenek, ha
.
Ahol
az
szerinti peremsűrűség.
Véletlen valószínűségi változók véges családjai számára adódik a kérdés, hogy van-e egy elég nagy valószínűségi tér, amiben a teljes család független erre a térre. Nem nyilvánvaló, hogy ez lehetséges; alternatívája lenne, hogy ha elég sokan vannak, akkor σ-algebráik mindig összefüggnek.
A kérdés a szorzatmértékek segítségével igenlően megválaszolható. A
![{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{\infty }\Omega _{i},\bigotimes _{i=1}^{\infty }{\mathcal {A}}_{i},\bigotimes _{i=1}^{\infty }P_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff49990f44cab2ad61312e63c9bfa9cf17793065)
szorzatmodellt tekintve az i-edik komponens
, azaz éppen az i indexű vetület. Így a szorzatmodell és a szorzatmérték definíciója miatt a család független, és a
vetületek eloszlása megegyezik
eloszlásával a
eseménytéren. A szorzatmodell elég nagy ahhoz, hogy tartalmazza független valószínűségi változók egy családját. A végtelen sok független valószínűségi változó létezését végtelen szorzatmérték létezésére vezettük vissza, ami nem magától értetődő. Ez belátható tetszőleges indexhalmazra például az Andersen-Jessen-tétellel, megszámlálható esetre alkalmazhsató az Ionescu-Tulcea-tétel, Borel-terekre Kolmogorov kiterjesztési tétele.
Korrelálatlanság és függetlenség[szerkesztés]
Ha
valószínűségi változók, akkor
korrelálatlan, ha kovarinaciájuk nulla.
függetlenségéből következik korrelálatlanságuk. Ugyanis függetlenség esetén a várható értékekre teljesül, hogy
;
így
.
Az első egyenlőség a kovariancia eltolástételéből, a második a függetlenségből és a várható értékekre vonatkozó fenti egyenlőségből következik.
Megfordítva azonban a korrelálatlanságból nem következik a függetlenség. Legyen az
valószínűségi változó egyenletes eloszlású az
intervallumon, és
. Ekkor
,
tehát a valószínűségi változók korrelálatlanok. De nem függetlenek, hiszen például
![{\displaystyle P(\{X\in [0,{\tfrac {1}{2}}],\,Y\in [0,{\tfrac {1}{9}}]\})=P([0,{\tfrac {1}{2}}]\cap [-{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}}])={\frac {1}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b48405b816c519b5e1ea155349eea6328310f1b4)
és
.
A függés adódik abból, hogy
.
Analízis függetlenségre[szerkesztés]
A függetlenségi analízis a korrelációt vizsgálja, ha ez nem nulla, akkor a függetlenségről szóló hipotézis elvehető. Másrészt azonban ez még nem jelent biztos függetlenséget, mert ez csak a lineáris kapcsolatot mutatja ki. Viszont például, ha a közös eloszlás normális, akkor a függetlenség igazolva van. Végezhetők további tesztek is.
Valószínűségi változók és halmazrendszerek függetlensége[szerkesztés]
A feltételes várható értékre hagyatkozva definiálható valószínűségi változó és halmazrendszer függetlensége is. Legyen
valószínűségi változó, és
halmazrendszer. Függetlenek, ha
és az
által generált σ-algebra független.
Hasonlóan definiálható a feltételes várható érték felhasználásával halmazrendszerek és valószínűségi változók feltételes függetlensége.
- ↑ Norbert Kusolitsch. Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie; Eine Einführung, 2., átdolgozott és bővített, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 95. o. (2014). ISBN 978-3-642-45386-1
- Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6
- Ulrich Krengel. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik; Für Studium, Berufspraxis und Lehramt, 8., Wiesbaden: Vieweg (2005). ISBN 3-8348-0063-5
- Hans-Otto Georgii. Stochastik; Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7
- Christian Hesse. Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, 1., Wiesbaden: Vieweg (2003). ISBN 3-528-03183-2
- A. M. Prochorow: Independence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 ([1]).